北师版高中数学必修第二册课后习题第2章 §4 4.1 平面向量基本定理.docVIP

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§4平面向量基本定理及坐标表示

4.1平面向量基本定理

课后训练巩固提升

A组

1.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基,那么下列说法正确的是().

A.已知实数λ1,λ2,则向量λ1e1+λ2e2不一定在平面α内

B.对平面α内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2可以不唯一

C.若有实数λ1,λ2使λ1e1=λ2e2,则λ1=λ2=0

D.对平面α内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2不一定存在

2.设点D为△ABC中BC边上的中点,O为AD边上靠近点A的三等分点,则().

A.BO=-1

B.BO

C.BO

D.BO=-5

3.已知非零向量OA,OB不共线,且2OP=xOA+yOB,若PA=λAB(λ

A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0

C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0

4.在△ABC中,AE=15AB,EF∥BC,EF交AC于点F,设AB=a,

A.-a+15b B.a-1

C.23a-13b D.13

5.(多选题)已知{e1,e2}是表示一个平面内所有向量的一组基,则下列四组向量中,可以作为一组基的是().

A.e1和e1+e2

B.e1-2e2和e2-2e1

C.e1+e2和e1-e2

D.e1-2e2和4e2-2e1

6.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作平面内所有向量的一组基,则实数λ的取值范围是.?

7.在△ABC中,O,D分别为边AB,BC的中点,若OC=xAB+yAD,则x+y=.?

8.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=.(用a,b表示)?

9.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC.其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若

B组

1.已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=().

A.a-12b B.1

C.a+12b D.1

2.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AB,AD上的点,且AM=45

A.AD中点

B.AD上靠近点D的三等分点

C.AD上靠近点D的四等分点

D.AD上靠近点D的五等分点

3.如图,已知OA=a,OB=b,任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,则向量MN=.(用a,b表示向量MN)?

4.在平行四边形ABCD中,O为AC与BD的交点,2AE=ED,若OE=xAB+yBC,则x+y=

5.在△ABC中,AB=5,AC=25,BC上的高AD=4,且垂足D在线段BC上,H为△ABC的垂心且AH=xAB+yAC(x,y∈R),则xy=

6.如图,在△ABC中,点M在边BC上,且BM=MC,点N在边AC上,且AN=3NC,AM与BN相交于点P,设CA=a,CB=b,用a,b表示

7.在△ABC中,过重心G的直线l交边AB于P,交边AC于Q,若AP=pPB,AQ=q

求证:(1)GA+

(2)1p

答案：

A组

1.C选项A中,由平面向量基本定理知λ1e1+λ2e2与e1,e2共面,所以A项不正确;选项B中,实数λ1,λ2有且仅有一对,所以B项不正确;选项D中,实数λ1,λ2一定存在,所以D项不正确;很明显C项正确.

2.D如图,D为中点,O为靠近A的三等分点,

BO=BA+AO=-AB+13

3.A由PA=λAB,得OA-OP=λ(OB-OA),即OP=(1+λ)

又2OP=xOA+yOB,

∴x=2+2λ,

4.A∵AE=15AB,∴

又EF∥BC,∴EF=

∴BF=BE+EF=-45

5.ABC根据平面基的定义知,向量e1,e2为不共线非零向量,即不存在实数λ,使得e1=λe2,

对于A,向量e1和e1+e2,不存在实数λ,使得e1=λ(e1+e2),所以e1和e1+e2可以作为一组基,符合题意;

对于B,向量e1-2e2和e2-2e1,假设存在实数λ,使得e1-2e2=λ(e2-2e1),

可得1=-2λ,-2=λ,此时方程组无解,所以e1-2e

对于C,向量e1+e2和e1-e2,假设存在实数λ,使得e1+e2=λ(e1-e2),

可得1=λ,1=-λ,此时方程组无解,所以e1+e2

对于D,向量e1-2e2和4e2-2e1,假设存在实数λ,使得e1-2e2=λ(4e2-2e1),

可得1=-2λ,-2=4λ,解得λ=-12,所以e1

6.λ≠4若向量a,b共线,则有λ=4,故当向量a,b不共线时,λ≠4.

7.12

因为O,D分别为边AB