北师版高考文科数学一轮总复习课后习题 选修4—5 不等式选讲 课时规范练59 不等式的证明 (2).docVIP

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课时规范练59不等式的证明

基础巩固组

1.(全国Ⅲ,理23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.

(1)证明:ab+bc+ca0;

(2)用maax{a,b,c}≥34

证明(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=12[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=-12(a2+b2+c

(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),所以a0,b0,c0.

由bc≤(b+c)24,可得abc≤a3

2.已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:

(1)1a+1b+1c

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

证明(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1

(2)因为a,b,c为正数,且abc=1,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥33(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2

3.(陕西西安中学二模)已知a0,b0且a2+b2=2.

(1)若使1a

(2)证明:1a+1b(a5+b

(1)解∵a,b∈(0,+∞),且a2+b2=2,

∴1a2+4b2=12(a2+b2)1a2+4b2=1

当且仅当b2=2a2时,等号成立,

则|2x-1|-|x-1|≤92,当x≤12时,不等式化为1-2x+x-1≤92,解得-9

当12x1时,不等式化为2x-1+x-1≤92,解得

当x≥1时,不等式化为2x-1-x+1≤92,解得1≤x≤9

综上,x的取值范围为-92,9

(2)证明(方法1)1a+1b(a5+b5)=a4+b4+a5b+b5a=(a2+b2)2-2a2b2+a5b+b5a≥4-2a

(方法2)由柯西不等式可得1a+1b(a5+b5)=1a2+1b2[(a52)2+(b52)2]≥a52a+b52b

当且仅当a=b=1时,等号成立.

综合提升组

4.(江西赣县模拟)已知f(x)=|x+1|+|x-3|.

(1)求不等式f(x)≤,求证:1a+b

(1)解①当x≤-1时,2-2x≤x+3,解得x≥-13

②当-1x≤3时,4≤x+3,解得1≤x≤3;

③当x3时,2x-2≤x+3,解得x≤5,则3x≤5.

综上,不等式的解集为{x|1≤x≤5}.

(2)证明因为f(x)=|x+1|+|x-3|≥|=4,1a+b+1b+c+1c+a=18[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·1a+b+1b+c+1c+a=38

5.已知函数f(x)=|x-1|.

(1)解不等式f(x)+f(x+1)≥4;

(2)当x≠0,x∈R时,证明:f(-x)+f1x≥2.

(1)解由f(x)+f(x+1)≥4得|x-1|+|x|≥4,当x1时,得2x-1≥4,解得x≥52;当0≤x≤1时,得1≥4,此时不等式无解;当x0时,得-2x+1≥4,此时x≤-32.所以不等式的解集为xx≥52或x≤-32

(2)证明f(-x)+f1x=|x+1|+1x-1,由绝对值三角不等式,得|x+1|+1x-1≥x+1x,又因为x,1x同号,所以x+1x=|x|+1x,由基本不等式得|x|+1x≥2,当且仅当|x|=1时,等号成立,所以f(-x)+f1x≥2.

6.(山西太原二模)已知函数f(=1时,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)若f((a0,b0),求证:a+2b≤

(1)解当m=1时,原不等式为|x+1|+|2x-1|≤6,

则x

解得-2≤x-1或-1≤x≤12或1

(2)证明由题意得f(x)=-

∴f(2+12m=3

∴m=1或m=-32

∴a+b=1,令a=cos2θ,b=sin2θ0θπ2,则a

当θ=π2-φ0φπ2,且tanφ=12

创新应用组

7.(广西桂林二模)已知实数a,b,c,满足a+b+c=1.

(1)若a,b∈R+,c=0,求证:a+1a2+b+1b2≥252;

(2)设abc,a2+b2+c2=1,求证:a+b1.

证明(1)c=0时,a+b=1,

a+1a2+b+1b2≥(a+1a)?2+(b+1

∵a,b∈R+,a+b=1,∴1a+1b=1a+1

从而a+1a2+b+1b2≥(1+4)22=252

(2)假设a+b≤1,则由a+b+c=1,知c≥0,故abc≥0,又由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,得ab+bc+ac=0,但由abc≥0,知ab+bc+ac0,矛盾,故假设a+b≤1不成立,则a+b1.

8.(陕西宝鸡二模)已知函数f(x)=|2x-4|+|x+1|.

(1)求不等式f(x)≥8的解