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第1课时余弦定理
必备知识基础练
1.已知△ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c,c=7,b=1,C=2π3
A.5 B.2
C.3 D.3
2.已知△ABC的角A,B,C所对的边为a,b,c,a=bcosC,则△ABC形状一定是()
A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
3.在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C等于()
A.90° B.120°
C.135° D.150°
4.在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,则三角形最大角为度.?
5.在△ABC中,a=3,b=13,B=60°,则c=,△ABC的面积为.?
关键能力提升练
6.(多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为()
A.π6 B.π3 C.5π
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=π3
A.1633 B.16 C.
8.在△ABC中,已知CB=7,AC=8,AB=9,AC边上的中线长为.?
9.如图,在△ABC中,D是AB边上的点,且满足AD=3BD,AD+AC=BD+BC=2,CD=2,则cosA=.?
学科素养创新练
10.已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个:
①A=π3;②cosB=-23;③a=7;
(1)请指出这三个条件,并说明理由;
(2)求△ABC的面积.
答案
1.B由余弦定理得,
cosC=a2+b2-
解得a=2或a=-3(舍).故选B.
2.D由a=bcosC,运用余弦定理可得a=b·a2+b2-c22ab,即2a
则a2+c2=b2,所以△ABC为直角三角形.
故选D.
3.B由余弦定理得cosB=a2
又0°B180°,所以B=60°,所以A+C=120°.
4.120因为a=7,b=3,c=5,所以三角形中最大角为角A,所以cosA=32+5
因为0°A180°,
所以A=120°.
5.433由余弦定理,得9+c2-2×3c×12=13,解得c=4或c=-1(舍);由三角形的面积公式,得S=12acsinB=12×3×4×3
6.BD根据余弦定理可知a2+c2-b2=2accosB,代入(a2+c2-b2)tanB=3ac,可得2accosB·sinBcosB=3
因为0Bπ,所以B=π3或B=2π
7.B由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,因为A=π3,a=4,所以16=b2+c2-bc,因为b2+c2
8.7由条件知cosA=AB2+AC2-BC22AB×AC=92+82-7
所以AC边上的中线长为7.
9.0设BD=x,则AD=3x,AC=2-3x,BC=2-x,在△ADC中,由余弦定理得cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD=9x
所以x2+2-(
整理可得4x-2=2-12x3
所以AD=1,AC=1,
在△ADC中,AD2+AC2=CD2,所以AD⊥AC,所以A=π2
10.解(1)△ABC同时满足①③④.理由如下:
因为cosB=-23-12,且B∈(0,π),所以B
若△ABC同时满足①②,则A+Bπ,显然不成立.
所以△ABC只能同时满足③,④.
所以ab,所以AB,
故△ABC不满足②.
故△ABC满足①③④.
(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
即72=32+c2-2×3×c×12
解得c=8或c=-5(舍去).
所以△ABC的面积S=12bcsinA=63.
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