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上海市交大附中2025届高三数学下学期期中试题（含解析）

一．填空题

1.计算矩阵的乘积：_____.

【答案】

【解析】

【分析】

干脆利用矩阵的乘积公式求解即可.

【详解】由题得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平，属于基础题.

2.计算：_____.

【答案】

【解析】

【分析】

先把原式写成，再利用二项式定理得解.

【详解】由题得原式=.

故答案为：

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.

3.已知，则_____.

【答案】

【解析】

【分析】

把等式两边同时平方化简即得解.

【详解】由题得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.

4.若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____.

【答案】

【解析】

【分析】

由题得解方程即得解.

【详解】由题得.

所以双曲线的虚轴长为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查双曲线的简洁几何性质，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平，属于基础题.

5.在首项为21，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第________项

【答案】5

【解析】

【分析】

先求出等比数列的通项，再列举出数列的前几项，比较即得解.

【详解】由题得等比数列的通项为

所以与1最接近.

所以最接近于1项是第5项.

故答案为：5

【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平，属于基础题.

6.如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则与平面所成的角是_____（用反三角函数表示）

【答案】

【解析】

【分析】

如图，过点作,垂足为,过点作，垂足为,连接，证明，不妨设依据已知求出求出即得解.

【详解】

如图，过点作,垂足为,过点作，垂足为,连接.

因为，所以，因为，

平面,,

所以平面，所以,

所以就是二面角的平面角，所以.

由题得,不妨设

由题得与平面所成的角是,

所以.

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算，考查空间直线和平面所成的角的作法和计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.

7.已知、、分别为△三个内角、、的对边，，且，则△面积的最大值为_____.

【答案】

【解析】

【分析】

由正弦定理化简已知可得，结合余弦定理可求的值，由基本不等式可求，再利用三角形面积公式即可计算得解．

【详解】因为

，

又因为，

所以，

面积，

而

所以，即面积的最大值为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算实力和转化思想，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力．

8.已知函数，是以2为周期的偶函数，且当时，有，则函数()的反函数是_____.

【答案】

【解析】

【分析】

先依据偶函数性质求出，上的解析式，再依据周期为2求出，上的解析式，最终求出反函数．

【详解】当时，，，

当时，，．

，

，，

所以，

是减函数，

所以，.

故答案为：

【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查依据函数的奇偶性周期性求解析式，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.

9.已知是定义在上的函数，方程恰好有7个解，则这7个解的和为_____.

【答案】3.5

【解析】

【分析】

先分析出原方程的两根应满意，再得到原方程的这7个根为,即得解.

【详解】若满意，

则取，则，则也是原方程的一根.

所以原方程的两根应满意，

既然有7个根，所以应有一根满意.

所以这7个根为,

所以它们的和为.

故答案为：3.5

【点睛】本题主要考查方程的零点，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平和分析推理实力.

10.设是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中和分别为10以内的非负整数，且，，若集合，则中全部元素的和为_____.

【答案】143

【解析】

【分析】

由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合，求和可得所求．

【详解】是一个循环节长度为两位的循环纯小数，

即，

，，，

和分别为10以内的非负整数，且，，

可得，，；，，；，，；

时，不存在满意题意的，

则中全部元素的和为．

故答案为：143

【点睛】本题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法，留意运用列举法，考查化简运算实力，属于基础题．

11.已知数列满意（），（是一个已知的正整数），若存在，当且为奇数时，恒为常数，则_____.

【答案】1

【解析】

【分析】

先分析出当时，当时，得，再说明时，，列举出该数列，即得解.

【详解】由题得是一个偶数，

所以，

当时，

，所以；

当时，是偶