北师版高中数学必修第二册课后习题第4章 §2 2.3 三角函数的叠加及其应用.docVIP

第PAGE5页共NUMPAGES5页

2.3三角函数的叠加及其应用

课后训练巩固提升

1.化简2cosx-6sinx的结果是().

A.22cosπ3-x B.2

C.22sinπ3-x D.2

2.已知12sinα+32cosα=45,则sinα+4π

A.-235 B.

C.-45 D.

3.(多选题)设函数f(x)=sin(2x+π4)+cos(2x+π4

A.f(x)为偶函数

B.f(x)在区间0,

C.f(x)的最大值为2

D.f(x)的图象关于点π4

4.已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),若AC·BC=-1,则sin

A.13 B.2

C.33 D.

5.化简:24sinπ4-x+

6.函数f(x)=sin(2x+φ)-2cos(2x+φ)0≤φ≤π2的图象关于直线x=π4对称,则sinφ=.?

7.设常数a使方程sinx+3cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=.?

8.已知函数f(x)=3sinωx+cosωx(ω0)的最小正周期为π,则当x∈[0,π2]时函数f(x)的一个零点是

9.某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,如图所示.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20m,AD=103m,记∠BHE=θ.

(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域.

(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.

答案：

1.D原式=2212cosx-32sinx=22(cosx·cosπ3

2.C∵12sinα+32cosα=sin

∴sinα+4π3=sin(π+α+π3)=-sin(α+π3

3.AD因为f(x)=2sin(2x+π4+π4

当x∈0,π2

所以f(x)在区间0,

f(x)的最大值为2,故C错误.

当x=π4时,fπ

所以f(x)的图象关于点π4

4.BAC=(cosα-3,sinα),BC=(cosα,sinα-3),

则AC·BC

=1-32sinπ4cosα+cosπ4sinα=1-32

5.22sin7π12-x24sinπ4-x+64cos(π4-x)=24sinπ4-x+3cosπ4-x=24×2[sin(π4-x

6.255∵f(x)=sin(2x+φ)-2cos(2x+φ)=5sin(2x+φ-θ)(sinθ=255,cosθ=55),且f(x)的图象关于直线x=π4对称,∴2×π4+φ-θ=π2+kπ,k

当k为偶数时,sinφ=sinθ=255;当k为奇数时,sinφ=-sinθ=-

又∵0≤φ≤π2,∴0≤sinφ≤1.故sinφ=2

7.7π3sinx+3cosx=212sinx+32cosx=2sinx+π3=a,在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2sinx+π3,x∈[0,2π]与y=a的图象(图略),可知当a=

令sinx+π3=32,得x+π3=2kπ+π3(k∈Z)或x+π3=2kπ+2π3(k∈Z),即x=2kπ(k∈

故x1+x2+x3=7π3

8.5π12∵f(x)=3sinωx+cosωx=2sinωx+

且f(x)的最小正周期为π,得ω=2,

∴f(x)=2sin2x+π

由f(x)=0,即2sin2x+π6=0,得2x+π6=kπ,k∈Z,∴x=-π

∵x∈0,π2,∴x=5π

∴当x∈0,π2

9.解(1)由题意可得EH=10cosθ,FH=10sinθ,且θ为锐角,故EF=

∵BE=10tanθ≤103,AF=10tanθ≤103

∴33≤tanθ≤3.∴θ∈π

∴L=10cosθ+10sinθ

即L=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ,θ∈π

(2)设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=t2

∵θ∈π6

∴t=sinθ+cosθ=2sinθ+π

∴L=20t

∵L=20t-1

∴当t=3+12,即θ=π6或θ=π