北师版高中数学必修第一册课后习题 第2章函数 3 函数的单调性和最值 (2).docVIP

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§3函数的单调性和最值

课后训练巩固提升

1.(多选题)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于任意x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论正确的是().

A.f(

B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0

C.f(a)f(x1)f(x2)≤f(b)

D.f(x1)≠f(x2)

解析:由函数单调性的定义知,函数f(x)在给定区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;

对于C,若x1x2,则f(x1)f(x2),故C不正确;

对于D,因为f(x)在区间[a,b]上单调,且x1≠x2,

所以f(x1)≠f(x2),故D正确.

答案:ABD

2.若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是().

A.[2,+∞) B.(-∞,2]

C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

解析:因为函数f(x)=ax+1在R上是减函数,所以a0,所以g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间.

又函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间为(-∞,2],故g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(-∞,2].

答案:B

3.若函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,8]上是单调函数,则实数k的取值范围是().

A.(-∞,40]

B.(40,64)

C.(-∞,40]∪[64,+∞)

D.[64,+∞)

解析:由f(x)=4x2-kx-8=4x-k82-k2

答案:C

4.(多选题)下列关于函数f(x)=x+|x-1|的说法正确的有().

A.有最小值,且最小值为1

B.没有最小值

C.有最大值,且最大值为10

D.没有最大值

解析:f(x)=x+|x-1|=2x

其图象如图所示:

(第4题答图)

由图象可知f(x)的最小值为1,没有最大值.

答案:AD

5.已知函数f(x)=(a+3)x

解析:依题意得a+30

解得-2≤a0.

故实数a的取值范围是[-2,0).

答案:[-2,0)

6.某社区积极响应党的二十大关于推进城乡人居环境整治的号召,改善社区居民的居住环境.如图,欲在一块锐角三角形空地中,建一座内接矩形花园(阴影部分).设该矩形花园的一边长为xm,则当2.?

解析:设矩形花园与边长为,且0y40,则由题意可得x40=40-y40,即y=40-x(0x40),于是矩形花园的面积S=x(40-x)=-x

解析:在平面直角坐标系中画出函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.

由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.

答案:6

8.已知函数y=f(x)(x0)满足:f(xy)=f(x)+f(y),当x1时,f(x)0,且f12

(1)证明:y=f(x)是区间(0,+∞)上的减函数;

(2)解不等式f(x-3)f1x

(1)证明:设0x1x2,则0x1x21,由题意得,f(x1)-f(x2)=fx1x2·x2-f(x2)=fx1x

∴y=f(x)是区间(0,+∞)上的减函数.

(2)解:由函数f(x)的定义域知x-

又f12=1,∴f14=f12×1

由f(x-3)f1x-2,得f(x-3)+2f1x,即f(x-3)+f14f1x,即fx-

综上所述,所求不等式的解集为(3,4).