北师版高中数学必修第一册课后习题 第2章函数 4.1 函数的奇偶性 (2).docVIP

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4.1函数的奇偶性

课后训练巩固提升

1.函数f(x)=x2

A.是奇函数,但不是偶函数

B.是偶函数,但不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数,也不是偶函数

解析:因为函数f(x)=x2+3的定义域为R,且f(-x)=

答案:B

2.函数f(x)=x3+1x

A.原点对称 B.y轴对称

C.直线y=x对称 D.直线y=-x对称

解析:函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.

又f(-x)=(-x)3+1-x=-

所以f(x)是奇函数.故其图象关于原点对称.

答案:A

3.设f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于().

A.-3 B.-1 C.1 D.3

解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x2-x,

∴f(1)=f(-1)=2×(-1)2-(-1)=2+1=3.

故选D.

答案:D

4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-3)=-2,则f(3)+f(0)=().

A.3 B.-3 C.2 D.7

解析:由题意得f(3)+f(0)=-f(-3)+f(0)=2+0=2.

答案:C

5.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于().

A.-26 B.-18 C.-10 D.10

解析:令g(x)=x5+ax3+bx,则函数g(x)的定义域为R,且g(-x)=-g(x),即g(x)为奇函数.

∵f(-2)=10,f(x)=g(x)-8,

∴f(-2)=g(-2)-8=10,解得g(-2)=18.

∴g(2)=-18.

∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.

答案:A

6.(多选题)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=x2

A.g(x)是偶函数

B.f(x)是奇函数

C.g(x)的值域是{-1,0}

D.g(x)是R上的增函数

解析:因为f(x)=x2

所以f(x)为偶函数,当x2+1≥2,即x≤-1或x≥1时,f(x)∈[0,12)

当x2+12,即-1x1时,f(x)∈[-12,0)

所以g(x)=0

所以g(x)为偶函数,g(x)的值域为{-1,0},g(x)在R上不具有单调性.

答案:AC

7.已知函数f(x)的定义域为R,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2.若f(x)为奇函数,则f(2)=,f(0)=;若f(x)为偶函数,则f(2)=.?

解析:若f(x)为奇函数,则f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12,f(0)=0.

若f(x)为偶函数,则f(2)=f(-2)=-12.

答案:120-12

8.已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+1x

解:因为当x0时,f(x)=x2+1x

所以f(2)=22+12

又因为函数f(x)为奇函数,

所以f(-2)=-f(2)=-92

9.已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且当x0时,f(x)=x2-2x+3.

(1)试求f(x)在R上的解析式;

(2)画出函数的图象,根据图象写出它的单调区间.

解:(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.

设x0,则-x0,又当x0时,f(x)=x2-2x+3,所以当x0时,有f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3.

于是有f(x)=x

(2)画出函数f(x)的图象,如图.

由图象可知,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间是[-1,0),(0,1].