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全等三角形中常见的辅助线的作法

全等三角形问题中最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的

相等，本节来介绍下在全等三角形中常见的几种辅助线的作法：

图中有角平分线，可向两边作垂线。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段计算和与差，巧用截长补短法。

三角形里有中线，延长中线至两倍。

在作辅助线的时候要注意以下两点：

①在原图形中作辅助线要用“虚线”；

②在证明过程中要描述添加方法。

一、用角平分线的性质构造全等

例1、如图,在四边形ABCD中,∠A=∠D=90°,BE、CE分别是∠B和∠C的角平分线。

求证：BC=AB+CD。

证明：过点E作EF⊥BC，垂足为点F

∵BE是∠B的角平分线，∠EFB=∠A=90°

∴EF=AE

在△EFB和△EAB中

∵∠EFB=∠A=90°，EF=AE，EB=EB

∴△EFB≌△EAB（HL）

∴BF=BA

同理可证：CF=CD

∴BC=CF+BF=AB+CD

二、连接法

例题2、如图,在五边形ABCDE中，点M是CD的中点，AB=AE,BC=ED，AM⊥CD。

求证：∠B=∠E。

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连接AC，AD

∵点M是CD的中点，AM⊥CD

∴AC=AD

在△ABC和△AED中

∵AB=AE,BC=ED，AC=AD

∴△ABC≌△AED（SSS）

∴∠B=∠E

三、用“截长法”或“补短法”构造全等三角形

例题3、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠C=2∠B。

求证：AB=AC+CD。

证明：

方法一、截长法

在线段AB上取点E，使得AE=AC,连接ED

∵AD是∠BAC的角平分线

∴∠EAD=∠CAD

在△EAD和△CAD中

∵AE=AC,∠EAD=∠CAD，AD=AD

∴△EAD≌△CAD

∴ED=CD,∠AED=∠ACD

又∵∠AED=∠B+∠EDB（三角形外角和定理），∠ACD=2∠B

∴∠B+∠EDB=2∠B（等量代换）

∴∠B=∠EDB

∴BE=ED（等角对等边）

又∵AB=AE+EB

∴AB=AC+CD（等量代换）

方法二、补短法

延长线段AC至点F，使CF=CD，连接DF

略证：

由∠ACB=2∠B=∠CDF+∠F，∠CDF=∠F

可得∠B=∠F

在证△ABD≌△AFD（AAS）

可得AB=AF

而AF=AC+CF=AC+CD

即证AB=AC+CD

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全等三角形中常见