高中数学函数单调性的几种常见题型总结.pdfVIP

高中数学函数单调性的几种常见题型总

结

在高中数学学习中，函数是非常重要的一部分内容。其中，函数的基本性质

——单调性更是重中之重。在对函数问题的考查中，函数的单调性占很大的比重。

因此，需要对函数单调性的常见题型进行系统的归纳总结。本文将从以下四方面

结合具体的例子来分析总结涉及到函数单调性的几种常见题型。

一、分段函数单调性问题

目前，高中数学教材必修一中这样定义函数单调性：一般地，设函数定

义域为:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当

时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；如果对

于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有

，那么就说函数在区间上是减函数。根据定义，我们可以得

到，若函数在上单调递增，则满足两个条件：（1）在

上单调递增，在上单调递增；（2）；同理，若

函数在上单调递减，则满足两个条件：（1）在

上单调递减，在上单调递减；（2）.

例题:已知函数在上是减函数，则的取值范围是.

这道题考查的是分段函数的单调性问题。根据题意，时，是二次

函数，在对称轴左侧单调递减；时，是对数函数，在时单调递

减；再利用端点处的函数值大小关系即可得出满足条件的的取值范围。

解答：当时，为二次函数，对称轴为，在对称轴

左侧单调递减，所以，解得；当时，，当时

单调递减。所以可得到，需满足，解得.所以答案为

.这里需要注意的是端点处函数值的大小关系是学生容易忽略或出错的地方，

我们在教学中需要加以解释与强调。

利用函数单调性参数取值范围

在这一类问题中，我们重点分析以下这种与对数函数相关的复合函数类型的

题目，这是学生们的易错点，我们在上课时需要引起重视。

例题：若在区间上递减，则的取值范围为

（）.

这道题考查与对数函数相关的复合函数的单调性，我们知道复合函数单调性

遵从“同增异减”的原则。解答：令，则，由题意，在

区间上，的取值需令真数，且函数在区间

上单调递减。

配方得，故对称轴为，如图所示：

由图像可知，当对称轴时，在区间上单调递减，

又真数，二次函数在上单调递减，故只需当

时，，则时，真数