小学奥数专题 相遇与追及和平均速度问题.docxVIP

学科培优数学

“相遇与追及和平均速度问题”

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知识定位

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.在对小学数学的学习中,我们已经接触过一些简单的行程应用题,并且已经了解到：上述三个量之间存在这样的基本关系：路程＝速度×时间.因此,在这一讲中,我们将在前面学习的基础上,研究两个运动物体作方向运动时,路程、速度、时间这三个基本量之间有什么样的关系。当我们在某一固定的路线上研究2个物体的运动情况时,最常见也是最重要的2种情况便是追及问题与相遇问题。

在研究追及和相遇问题时,一般都隐含以下两种条件：

(1)在整个被研究的运动过程中,2个物体所运行的时间相同

(2)在整个运行过程中,2个物体所走的是同一路径。

【授课批注】

两个物体的相遇与追及问题是行程问题中的一个专题,其内容较为简单,但还是要求教师利用行程图仔细的描述两个物体的运动过程来分析问题,进而帮助学生养成用行程图来帮助分析解决行程问题的好习惯,所以请各位教师在本讲中做出表率帮助学生学好行程专题。

知识梳理

两个物体的追及与相遇问题：

1.相遇问题

假设甲乙分别从A,B两地出发相向而行,速度分别为,A,B两地相距S,甲乙经过时间t后相遇,那么我们可以明显的看出,在时间t内,甲乙共同走了一个A,B全长,即甲乙的路程之和为S.

那么我们分别利用公式表示甲乙两人在时间t内所走的路程：

,,

那么路程的和

所以我们得到了相遇问题中最重要的结论

速度和×相遇时间=路程和

2.追及问题

与相遇问题类似的一个问题便是追及问题

假设甲乙两人站在100米的跑道上,甲位于起点(0米)处,乙位于中间5米处,经过时间t后甲乙同时到达终点,甲乙的速度分别为,那么我们可以看到经过时间t后,甲比乙多跑了5米,或者可以说,在时间t内甲的路程比乙的路程多5米,甲用了时间t追了乙5米

由,,

由此我们可以得到追及问题的一个重要结论：

速度差×追及时间=路程差

三、平均速度

平均速度就是把总路程按时间均匀分配的行走或移动的距离；

平均速度的基本关系式为：

平均速度总路程总时间；

总时间总路程平均速度；

总路程平均速度总时间。

【重点难点解析】

通过本课的学习,使学生了解学习行程问题的重要性,及相遇追及问题及平均速度问题的常见类型。

使学生知道相遇与追及是行程问题中的基本问题,掌握相遇与追及问题的基本公式,学会从题中找隐含条件来解决问题。

掌握平均速度的定义和公式,参数法求解平均速度,最小公倍数法求解平均速度

使学生掌握解决较难行程问题的两个重要方法,画图和分析过程

【竞赛考点挖掘】

相遇追及的综合应用

平均速度知识点与其他知识点的结合

数型结合的思想

例题精讲

【试题来源】

【题目】小新和正南同时从各自的家相对出发,正南每分钟走20米,小新骑着自己的脚踏车每分钟比正南快42米,经过20分钟后两人相遇,你知道小新和正南家的距离吗？

【答案】640

【解析】由题意知小新的速度是：20+42=2（米/分）,两家的距离=正南走过的路程+小新走过的路程=20×20+62×20=400+1240=640（米）,请教师画图帮助学生理解分析.

注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：.对于刚刚学习奥数的孩子,注意引导他们认识、理解进而应用公式.

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】大头儿子的家距离学校3000米,小头爸爸从家去学校接大头儿子放学,大头儿子从学校回家,他们同时出发,小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米,50分钟后两人相遇,那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？

【答案】18

【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和：3000÷50=60(米／分钟),小头爸爸的速度：(60+24)÷2=42(米／分钟),大头儿子的速度：60—42=18(米／分钟).

【知识点】相遇与追及和平均速度问题

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

夏夏和冬冬同时从两地相向而行,夏夏每分钟行50米,冬冬每分钟行60米,两人在距两地中点50米处相遇,求两地的距离是多少米?

【答案】1100

【解析】根据题意,我们可以画线段图如下：

从图中可以看出（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧,为什么？）,因为夏夏的速度比冬冬慢,所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米,由图可以得出：

夏夏所行路程=全程一半-50米,冬冬所行路程=全程一半+50米；

所以两人相遇时,冬冬比夏夏多走了50×2=100(米),冬冬比夏夏每分钟多走10米,所以两人从出发到相遇共走了10分钟,两地的距离：(60+50)×10=1100(米).可以教给学生以后再看到相遇问题中关于在距中点＊＊米相遇时,可直接得出