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2023届四川省遂宁市第二中学下学期第二次月考数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻)若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为()
A. B. C. D.
2.在菱形中,,,,分别为,的中点,则()
A. B. C.5 D.
3.若数列满足且,则使的的值为()
A. B. C. D.
4.若复数满足,则()
A. B. C. D.
5.是抛物线上一点,是圆关于直线的对称圆上的一点,则最小值是()
A. B. C. D.
6.已知命题p:若,,则;命题q:,使得”,则以下命题为真命题的是()
A. B. C. D.
7.函数在区间上的大致图象如图所示,则可能是()
A.
B.
C.
D.
8.执行如图所示的程序框图若输入,则输出的的值为()
A. B. C. D.
9.已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是()
A. B. C. D.
10.在直角中,,,,若,则()
A. B. C. D.
11.已知定义在上的可导函数满足,若是奇函数,则不等式的解集是()
A. B. C. D.
12.复数满足(为虚数单位),则的值是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B为焦点,且过C,D两点的双曲线的离心率为____________.
14.已知实数满足则点构成的区域的面积为____,的最大值为_________
15.设常数,如果的二项展开式中项的系数为-80,那么______.
16.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,已知四边形的直角梯形,∥BC,,,,为线段的中点,平面,,为线段上一点(不与端点重合).
(1)若,
(ⅰ)求证:PC∥平面;
(ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;
(2)否存在实数满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为,若存在,确定的值,若不存在,请说明理由.
18.(12分)在中,角所对的边分别为,若,,,且.
(1)求角的值;
(2)求的最大值.
19.(12分)某社区服务中心计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶5元,售价每瓶7元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:摄氏度℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间,需求量为500瓶;如果最高气温低于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
天数
4
14
36
27
6
3
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为(单位:瓶)时,的数学期望的取值范围?
20.(12分)已知函数是自然对数的底数.
(1)若,讨论的单调性;
(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.
21.(12分)心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个定点的轨迹,因其形状像心形而得名,在极坐标系中,方程()表示的曲线就是一条心形线,如图,以极轴所在的直线为轴,极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若曲线与相交于、、三点,求线
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