数学互动课堂学案：向量的概念及表示.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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互动课堂

疏导引导

1.位移的概念

在物理学中,研究物体在平面内的位置和运动规律时，一般忽略它的大小，把它看作是一个质点，用点表示它在平面的位置.一个质点从点A运动到A′,如果我们不考虑它的运动路线，只考虑点A′相对A的“方向”和“直线”距离，我们说质点在平面上作了一次位移，因此位移被“方向”与“距离唯一确定，位移只表示位置的变化,起、终点间的位置关系,而与质点实际运动的路线无关。

特别提示：从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们可将它们看成是相同的位移或相等的位移。

2.向量的概念及表示

（1）向量的概念

在高中阶段，我们暂且把具有大小和方向的量叫做向量，更具体一些，向量可以理解为“一个位移或表达“一个点相对于另一点的位置”的量.有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如，力就是既有大小，又有方向，并且还有作用点的向量.有些向量只有大小与方向；而无特定的位置.例如，位移、速度等。通常将后一种向量叫做自由向量。以后无特殊说明，我们所提到的向量,都是自由向量,即我们高中阶段所研究的向量只有大小、方向两个要素，如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向量相等。

疑难疏引由于向量是具有大小和方向的量，所以向量不能比较大小。这是向量与数量的不同之处.

（2)向量的表示方法

①用有向线段来表示的几何表示法。

从点A位移到点B,用线段AB的长度表示位移的距离，在B处画上箭头表示位移的方向，此时线段AB具有从A到B的方向。具有方向和长度的线段，叫做有向线段。点A叫做始点，点B叫做终点，记作,应注意始点一定要写在终点的前面。的长度（或模)记作｜｜。如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量。

用有向线段表示向量，显示了图形的直观性，是向量的直观形象。有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度即是位移的距离，位移的距离叫做向量的长度，尽管可以用有向线段来表示向量,但不是说向量就是有向线段.

②用字母表示向量

向量除了用上面的符号表示外，通常在印刷时用小写黑体字母a、b、c…来表示向量,手写时，可写成带箭头的小写字母、、…以后随着学习的深入，在建立坐标系后，向量也可用坐标来表示,使向量真正成为数形结合的载体.

3.向量的相关概念

（1）向量的模

如果=a，那么的长度|｜就表示向量a的大小，也叫做a的长（或模）记作|a｜。

疑难疏引向量不同于数量，数量之间可以比较大小,而向量由大小和方向两个要素所确定,由于方向不能比较大小,因此，“大于“小于对向量来说是没有意义的.向量无大小之分,却有相等这一概念，向量的模（正数或零）可以比较大小.

（2）零向量

长度等于零的向量叫做零向量，记作0,零向量的方向不确定，是任意的。

（3）相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若a与b相等，记作a=b。任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

（4）向量的共线（平行)

通过有向线段的直线,叫做向量的基线(如右图)。如果向量的基线平行或重合,则称这些向量共线或平行.共线非零向量方向相同或相反.向量a平行于b，记作a∥b.

规律总结（1）向量的平行与共线是一个意思，这与平面几何中的平行与共线的概念不同.相等的向量一定是平行（共线）向量，而平行（共线)的向量却不一定相等。

(2）零向量是一个比较特殊的向量，我们规定零向量与零向量相等,且零向量与任意向量都平行.

4.用向量表示点的位置

给定一定点O及向量a，如左下图.过点O作有向线段=a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定,此向量是，又叫做点A相对于点O的位置向量.

例如，在谈到天津相对于北京的位置时（如右上图)，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114km。”在图中，我们用O表示北京的位置,点A表示天津的位置,那么向量=“东偏南50°，114km就表示了天津相对于北京的位置.

活学巧用

【例1】一人从点A出发,向东行走500m到达B点，接着又南行走500m到达C点，则该人行走的路程是_____________m，位移是__________________________。

解析：“路程”与“位移”是两个不同的概念。在本题中,这个人所行走的路程是1000m，而想要描述位移，则要说明由A到C的方向及AC的直线距离。即位移被“方向”与“距离”唯一确定.A为起点,C为终点，显然,C在A的东南方向m处，故这个人的位移是“东南方向,m。

答案：1000东南方向，m

【例2】有下列物理量,其中不是向量的有（)

①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功

A。1个