数学例题与探究：4三角函数的图象与性质.docxVIP

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典题精讲

例1(安徽高考卷，理8）设a＞0，对于函数f(x)=(0＜x＜π），下列结论正确的是（)

A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值

C。有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值

思路解析：令t=sinx，t∈(0,1］，则函数f（x)=（0＜x＜π）的值域为函数y=1+，t∈（0,1]的值域,又a＞0，所以y=1+，t∈（0,1］是一个减函数，故选B。

答案：B

绿色通道:本题的解法对形如y=或y=的函数的值域（或最大值、最小值)问题具有一般性.

变式训练求函数y=的值域.

思路分析：此类题型可转化为分式函数的值域的求法，即分离常数法,或通过反解sinx法,利用sinx的值域确定函数的值域.

解：由y=,得sinx=。∵｜sinx｜≤1，

∴||≤1.

解得-2≤y≤.∴ymax=,此时sinx=1时;

ymin=—2,此时sinx=-1时。∴函数的值域为［—2，］。

例2求下列函数的周期：

（1）y=cos2x;

（2)y=-2cos(-x—1）；

（3）y=｜sin2x|；

(4）y=cos3x+sin2x。

思路分析：（1）复合函数，可以通过变量替换归结为基本三角函数去处理；（2）先用诱导公式将ω转为正值，再用T=；（3)可利用绝对值的意义；（4）可用最小公倍数法.

解：(1）把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2π,即u增加到u+2π,且必须增加到u+2π时，函数cosu的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π），所以当自变量x增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现，因此y=cosx的周期为π。

（2）y=-2cos(-x-1)=—2cos（x+1)，T==4π.

（3）通过画图知y=｜sinx｜的周期是=π，故y=|sin2x|的周期是。

（4）y1=cos3x的周期T1=；y2=sin2x的周期T2==π，因为T1=,T2=且4与6的最小公倍数是12,所以T==2π。

绿色通道：周期的求法除应用定义及有关结论公式外，还可以作出图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法，另外最小公倍数法也要灵活掌握。

变式训练(2006湖南高考卷，文8）设点P是函数f（x)=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值为,则f(x)的最小正周期是(）

A。2πB.πC.D。

思路解析：通过图象分析，可以知道对称中心与最近对称轴的距离为，∵P到对称轴的最小距离为,∴最小正周期T=4×=π。

答案：B

例3(江苏高考卷，1）已知α∈R，函数f（x)=sinx-|a｜，x∈R为奇函数，则a的值为（)

A.0B。1C。—1

思路解析：解法1:由题意可知f(x)=-f（-x）,得a=0。

解法2：函数的定义域为R,又f（x）为奇函数,故其图象必过原点即f(0）=0,解得a=0.

解法3：由f（x)是奇函数图象法函数画出f（x）=sinx—｜a｜，x∈R的图象.

答案：A

绿色通道:对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健，讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称。

若函数f(x)为奇函数f(-x)=—f（x）y=f（x）的图象关于原点对称.

若函数f(x)为偶函数f(—x）=f(x)y=f（x)的图象关于y轴对称。

变式训练(2006北京高考卷,文2)函数y=1+cosx的图象（)

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C。关于原点对称D。关于直线x=对称

思路解析:函数y=1+cosx是偶函数，因此图象关于y轴对称。

答案：B

例4(全国高考巻Ⅰ,理17）设函数f（x)=sin(2x+φ)（—π＜φ＜0),y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=。

（1)求φ;

（2）求函数y=f（x)的单调增区间；

(3）画出函数y=f(x)在区间［0,π]上的图象。

思路分析:求φ值可利用对称轴来解决；求函数的单调区间要注意“整体性原则;画函数图象时用“五点法即可.

解：（1）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，

∴sin(2×+φ)=±1,∴+φ=kπ+,k∈Z。∵-π＜φ＜0,∴当k=—1时,φ=—.

（2）由（1）知φ=—，因此y=sin（2x-)单调递增的区间为2kπ≤2x—≤2kπ+（k∈Z）.

则函