北师版高中数学必修第一册课后习题 第1章 预备知识 3.2第2课时 基本不等式与最大(小)值.docVIP

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第2课时基本不等式与最大(小)值

课后训练巩固提升

一、A组

1.若x0,y0,且2x

A.最大值64 B.最小值1

C.最小值12

解析:由题意得xy=2x+8yxy=2y+8x≥22y·8x

答案:D

2.(多选题)下列说法正确的有().

A.y=x+1x

B.y=x2

C.y=2-3x-4x(x0)的最大值是2-4

D.y=2-3x-4x(x0)的最小值是2-4

解析:当x0时,y=x+1x=-(-x+1-

y=x2

当x0时,y=2-3x-4x=2-(3x+4x)≤2-43,当且仅当3x=4x

答案:AC

3.函数y=xx+1

A.25 B.12 C.

解析:令t=x(t≥0),则x=t2,∴y=xx+1

当t=0时,y=0;当t0时,y=1t

∵t+1t≥2,∴01t+1t≤12

答案:B

4.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于().

A.254 B.252

解析:设直角三角形的斜边长为c,直角边长分别为a,b,由题意知c=5,且a2+b2=25,

则直角三角形的面积S=12

因为25=a2+b2≥2ab,所以ab≤252

则直角三角形的面积S=12ab≤12×

即这个直角三角形面积的最大值等于254

答案:A

5.若函数y=x+1x

A.1+2 B.1+3 C.3 D.4

解析:y=x+1x-2

∵x2,∴x-20,

∴y=x-2+1x-2+2≥2(

又由题知,函数在3,深为2m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价分别为240元/m2和160元/m2,那么水池的最低总造价为元.?

解析:设池底的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元,根据题意,有2xy=8,则xy=4,于是z=240×4+160(2×2x+2×2y)=960+640(x+y)≥960+1280xy=960+1280×2=3520,当且仅当x=y=2时,等号成立.

答案:3520

7.若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值.

解:因为x+3y=5xy,所以1y

所以3x+4y=151y+3

当且仅当3xy

由x+3y=5xy

所以当x=1,y=12

二、B组

1.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是().

A.[6,+∞) B.[9,+∞) C.(0,9] D.(0,6]

解析:∵a,b是正数,∴ab=a+b+3≥2ab+3(当且仅当a=b时,等号成立),即ab-2ab-3≥0,

∴ab≥3,或ab≤-1(舍去),∴ab≥9.

答案:B

2.已知点A(m,n)在一次函数y=12-1

A.42 B.8 C.9 D.12

解析:因为点A(m,n)在函数y=12-12+2n=1.又mn0,所以2m+1n=(m+2n)(2

答案:B

3.(多选题)设a+b=2(a0,b0),则12a

A.a=23

C.12a+

解析:因为a+b=2,a0,b0,所以12a+ab=24a+ab=a+b4a+ab=a4a+b4a+

答案:AC

4.设a0,b0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为

解析:因为a0,b0,a+b=5,

所以(a+1)+(b+3)=9.

由不等式x+y2≤x2+y22可知,a+1+

答案:32

5.已知两个正数x,y满足恒成立的实数m的取值范围是.?

解析:∵x+y=4,∴x4+

∴1x+4y=1x+4yx4+y4

答案:-∞,9

6.已知正数x,y满足1x+1y=1,则

解析:∵x0,y0,1x+1y=1,∴4xx-1+9y

答案:25

7.已知a0,b0,且2a

解:因为2a

所以m≤2a

所以m≤[(2a+1b)

而2a+1b(2a+b)=5+

所以m≤9,即m的最大值为9.

8.某厂家拟在今年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)(单位:万元)(m≥0)满足x=3-km+1

(1)将今年厂家销售该产品获得的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;

(2)该厂家今年的促销费用为多少万元时,获得的利润最大?

解:(1)由题意,可知当m=0时,x=1,

∴1=3-k,解得k=2,∴x=3-2m+1

又每件产品的销售价格为1.5×8+16xx

∴y=x1.5×8+16xx-(8+16=4+83-2

(2)∵m≥0,∴16m+1+(m+1)≥216=8,当且仅当16

∴y≤-8+29=21,∴ymax=21.

故该厂家今年的促销费用为3万元时,获得的利润最大,最大利润为21万元.