7.2.2　单位圆与三角函数线教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册.docx

7.2.2单位圆与三角函数线教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

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教学内容

本节课选自2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册第7章第2节第2小节，主题为“单位圆与三角函数线”。教学内容主要包括以下部分：

1.单位圆的定义和性质；

2.单位圆上的角度表示；

3.三角函数线的概念及其在单位圆上的表示；

4.正弦函数、余弦函数、正切函数在单位圆上的图像及其性质；

5.利用单位圆推导正弦、余弦、正切函数的基本关系式。

核心素养目标

1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过单位圆的理解加深对三角函数几何意义的认识。

2.提升学生的逻辑思维和推理能力，通过三角函数线在单位圆上的表示，推导出基本三角函数关系式。

3.增强学生的数学应用意识，理解三角函数在实际问题中的应用价值。

4.培养学生的数学抽象能力，从单位圆的角度抽象出三角函数的性质和规律。

教学难点与重点

1.教学重点

-单位圆的定义和性质：理解单位圆的半径为1，圆心在原点，以及单位圆上任意点的坐标表示。

-三角函数线的表示：掌握正弦、余弦、正切函数在单位圆上的表示方法，即三角函数线与单位圆的交点坐标。

-基本三角函数关系式的推导：通过单位圆上的三角函数线，推导出正弦、余弦、正切函数之间的基本关系式，如sin2θ+cos2θ=1。

例如，教学重点之一是单位圆上角度的表示，教师需要强调角度与弧度的转换，以及如何通过角度确定单位圆上的点，这是理解三角函数线的基础。

2.教学难点

-角度与弧度的理解：学生可能难以理解角度与弧度的概念及其转换，这会影响他们对三角函数线表示的理解。

-三角函数线的动态变化：学生可能难以想象角度变化时，三角函数线在单位圆上如何动态变化，以及这些变化如何影响函数值。

-基本三角函数关系式的推导过程：推导过程中涉及到的几何证明和代数运算可能成为学生的难点，特别是如何利用单位圆上的几何关系进行推导。

例如，教学难点之一是推导sin2θ+cos2θ=1。学生可能难以理解为何在单位圆上，一个角的正弦值和余弦值的平方和恒等于1。教师需要通过构造直角三角形和利用勾股定理，帮助学生直观地理解这一关系式的几何背景。

教学资源准备

1.教材：确保每位学生都配备了人教B版（2019）必修第三册教材。

2.辅助材料：准备单位圆动画视频、三角函数图像的PPT展示，以及相关例题的电子文档。

3.教学工具：准备三角板、圆规、直尺等教学工具，以供学生在课堂上进行图示和计算。

4.教室布置：将教室内的座位安排为小组讨论形式，以便学生进行合作学习和问题讨论。

教学过程

一、导入新课

1.同学们，上一节课我们学习了任意角的三角函数，大家还记得正弦、余弦和正切函数的定义吗？

2.非常好，那么我们今天将进一步学习这些函数在单位圆上的表示，这将对我们的数学学习有重要的意义。请大家打开教材第7章第2节第2小节，我们开始今天的学习。

二、探究单位圆的定义与性质

1.首先，请大家观察教材上的图7.2-1，它展示了一个单位圆。谁能告诉我，什么是单位圆？

-学生回答后，总结：半径为1的圆，圆心在原点的圆被称为单位圆。

2.现在我们来探究单位圆的一些性质。请大家尝试在纸上画一个单位圆，并标记出圆心、半径和几个特殊的角度（如0°、90°、180°、270°、360°）。

-学生绘画并标注后，邀请几位同学展示他们的作品。

3.在单位圆上，我们通常用弧度来表示角度。请大家查阅教材，了解弧度的定义和弧度与角度的转换关系。

-学生阅读教材后，提问并确认理解。

三、学习三角函数线的表示

1.现在我们来看三角函数线在单位圆上的表示。请大家观察图7.2-2，它展示了角度为θ的正弦线、余弦线和正切线。

-提问：正弦线、余弦线、正切线分别是什么？

-学生回答后，解释：正弦线是角度θ对应的圆上的点的纵坐标，余弦线是横坐标，正切线是过该点的切线与x轴的交点的横坐标。

2.接下来，我们通过一个活动来加深理解。请大家拿出三角板，尝试在单位圆上标记出不同角度的正弦线、余弦线和正切线。

-学生操作后，邀请几位同学分享他们的发现。

3.我们再来看一些特殊角度的情况。请大家查阅教材上的表格7.2-1，它列出了0°、30°、45°、60°、90°角的正弦、余弦、正切值。

-学生查阅后，讨论这些特殊角度的三角函数值的特点。

四、推导基本三角函数关系式

1.现在我们来推导一些基本的三角函数关系式。请大家观察单位圆上的直角三角形，并尝试利用勾股定理来推导sin2θ+cos2θ=1。

-学生尝试推导后，邀请一位同学到黑板上展示他的推