北师版高中数学必修第二册课后习题第2章 §6 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例 (2).docVIP

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6.2平面向量在几何、物理中的应用举例

课后训练巩固提升

1.若OF1=(2,2),OF2=(-2,3)分别表示F1,F2,则|F

A.(0,5) B.25

C.22 D.5

解析:因为F1+F2=(0,5),所以|F1+F2|=02

答案:D

2.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD等于().

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:建立平面直角坐标系,如答图所示.

(第2题答图)

设AD=t(t0),则A(0,0),C(1,t),B(2,0),

则AC=(1,t),BC=(-1,t).

由AC⊥BC知AC·BC=-1+t

答案:A

3.已知点O是△ABC所在平面内的一点,满足OA·OB=

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

解析:∵OA·

∴(OA-OC)·

∴OB·

∴OB⊥AC.

同理OA⊥BC,OC⊥AB,

∴O为三条高的交点.

答案:D

4.如图,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,若DE⊥AC,则|

(第4题)

A.52 B.23

C.3 D.22

解析:如答图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),E(2,0).

(第4题答图)

设AD=m,则D(0,m),C(4,m).

∵DE⊥

∴DE·AC=0,而DE=(2,-m),AC=(4,m),∴8-m2=0,即m

∴|DE|=22+m

答案:B

5.用牵绳拉船沿直线方向前进60m,若牵绳与行进方向的夹角为30°,拉力为50N,则该拉力对船所做的功为J.?

解析:所做的功W=60×50×cos30°=15003(J).

答案:15003

6.已知一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5),在这个过程中三个力的合力所做的功等于.?

解析:∵F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),

∴合力F=F1+F2+F3=(8,-8).

又AB=(0-1,5-1)=(-1,4),

∴F·AB=8×(-1)+(-8)×4=-40,即三个力的合力做的功等于-40.

答案:-40

7.在四边形ABCD中,已知AB=(4,-2),AC=(7,4),AD=(3,6),则四边形ABCD的面积是.?

解析:BC=AC-

因为AB·

所以四边形ABCD为矩形,

所以|AB|=42+(-2)2=25,|BC|=32+62=3

答案:30

8.如图,一物体受到两个大小均为60N的力的作用,两力的夹角为60°,且有一力方向水平,求合力的大小及方向.

(第8题)

解:设向量OA,OB分别表示两力,以OA,

由已知可得△OAC为等腰三角形,且∠COA=30°.

(第8题答图)

过点A作AD⊥OC于点D,则在Rt△OAD中,|OD|=|OA|cos30°=60×32=303

故|OC|=2|OD|=603,即合力的大小为603N,方向与水平方向成30°角.

9.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为点E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.

(第9题答图)

证明:如答图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.

设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),AC=(2,-2).

设AF=λAC,则BF=

又因为DA=(-1,2),BF⊥DA,所以

所以-2λ+2(2-2λ)=0,解得λ=23,所以BF=43,23

又因为DC=(1,0),所以cos∠ADB=DA·DB|DA||

又因为∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.