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2022年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编（江西考卷）

04挑战压轴题（解答题二）

1．（2021·江西）二次函数的图象交轴于原点及点．

感知特例

（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：

…

（___，___）

…

…

…

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．

形成概念

我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．

探究问题

（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；

②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；

③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．

【答案】（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．

【解析】

【分析】

（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；

（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为(3m，)，再根据题意即可求解．

【详解】

（1）∵点B(1，3)与点B′(5，3)关于点A中心对称，

∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，

故答案为：2，0；

②描点，连线，得到的图象如图所示：

（2）①当m=?1时，抛物线L为，对称轴为，

它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，

画出草图如图所示：

∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，

则x的取值范围为：；

②画出草图，

由图象知，这条抛物线的解析式只能是；

故答案为：；

③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，

由题意可知△PMA≌△A，

得(3m，0)，所以(3m，)，

∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，

∴=m或=m，

解得m=1或0，

当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，

∴m=1．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．

2．（2020·江西）已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…

2

1

0

1

2

…

…

0

3

3

…

（1）根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为；

（2）求抛物线的表达式及的值；

（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？

（4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系．

【答案】（1）上，；（2），；（3）图象见解析，中点的轨迹为抛物线；（4）．

【解析】

【分析】

（1）由表中数据分析即可得到开口方向，及对称轴；

（2）代入，解方程组，即可求得表达式；代入即可得到的值；

（3）根据要求画出函数图象，并观察猜想即可；

（4）根据题目要求，画出图象，观察得结论即可．

【详解】

（1）由表可知：；，x=2,y=3可知抛物线开后方向向上；

由表可知：；，可知抛物线的对称轴为：

故答案为：上，

（2）由表可知：代入点得

，解得

∴抛物线的表达式为：

当时，

当时，

（3）作图如下：

OP中点连接后的图象如图所示：为抛物线

（4）如图所示：可得

【点睛】

本题考查了二次函数的探究题，能根据表格求出抛物线的解析式，是解题的关键．

3．（2019·江西）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．

（1）如图1，当点与点重合时，________°；

（2）如图2，连接．

①填空：_________（填“”，“”，“=”）；

②求证：点在的平分线上；

（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．

【答案】（1）；（2）①，②见详解；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据菱形的性质计算；

（2）①证明，根据角的运算解答；

②作于，交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理证明结论；

（3）根据含角的直角三角形的性质得到，证明四边形为菱形，根据菱形的性质、平行线分线段成比例定理计算，得到答案．

【详解】

解：（1）∵四边形是菱形

∴

∴

故答案是：

（2）①∵四边形是平行四