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（挑战压轴题）2023年中考数学【三轮冲刺】专题汇编（长沙专用）

—04挑战压轴题（解答题二）

1．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．

(1)求证：△ABE∽△DCE；

(2)当DC=CB，∠DFE=2∠CDB时，则AEBE-DECE

(3)①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S,S1,

②当DC=CB，AB=m，AD=n，CD=p时，试用含m，

【答案】(1)见解析

(2)0，1，0

(3)①等腰三角形，理由见解析，②p

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证；

（2）由（1）的结论，根据相似三角形的性质可得AE?CE=BE?DE，即可得出AEBE-DECE=0，根据已知条件可得EF∥AB，FA=FE

（3）①记△ADE,△EBC的面积为S3,S4，则S=S1+S2+S

②证明△DAC∽△EAB，△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质，得出EA?AC+CE?AC=AC2=mn+p2，则AC=

【详解】（1）证明：∵AD

∴∠ACD=∠ABD，

即∠ABE=∠DCE，

又∠DEC=∠AEB，

∴△ABE∽△DCE；

（2）∵△ABE∽△DCE，

∴AB

∴AE?CE=BE?DE，

∴AE

∵∠CDB+∠CBD=180°-∠BCD=∠DAB=2∠CDB，

∵∠DFE=2∠CDB，

∴∠DFE=∠DAB，

∴EF∥AB，

∴∠FEA=∠EAB，

DC=CB

∴∠DAC=∠BAC

∴∠FAE=∠FEA，

∴FA=FE，

，

∴△DFE∽△DAB，

∴EF

∴EFAB+

AFAB+

∴AF

∴1

故答案为：0，1，0

（3）①记△ADE,△EBC的面积为S3

则S=S

∵S

∴S

S=S

即S=S

∴S

由①②可得S3

即S3

∴S

S△ABE+

即S△ABD

∴CD∥AB，

∴∠ACD=∠BAC,∠CDB=∠DBA，

∵∠ACD=∠ABD，

∴∠EDC=∠ECD=∠EBA=∠EAB，

∴△ABE,△DCE都为等腰三角形；

②∵DC

∴∠DAC=∠EAB，

∵∠DCA=∠EBA，

∴△DAC∽△EAB，

∴AD

∵AB=m，

∴EA?AC=DA×AB=mn，

∵∠BDC=∠BAC=∠DAC，

∴∠CDE=∠CAD，

又∠ECD=∠DCA，

∴△DCE∽△ACD，

∴CD

∴CE?CA=CD

∴EA?AC+CE?AC=AC

则AC=mn+

∴AE=AC-CE=mn

∴AE?EC=mn

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解题的关键．

2．（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点

(1)判定AC与⊙O的位置关系，为什么？

(2)若BC=3，，

①求sin∠DBC、

②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α

【答案】(1)相切，原因见解析

(2)①sin∠DBC=55，sin∠

【分析】（1）连接OD，根据角之间的关系可推断出OD//BC，即可求得

（2）①构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长可求出sin∠DBC，sin∠ABC的值；②先表示出来sin∠DBC、cos∠DBC和sin∠ABC

【详解】（1）解：连接OD，如图所示

∵BD为∠ABC的角平分线

∴∠ABD=∠CBD

又∵⊙O过点B、D，设⊙O半径为r

∴OB=OD=r

∴∠ODB=∠OBD=∠CBD

∴OD//

∵OD⊥AC

∴AC与⊙O的位置关系为相切．

（2）①∵BC=3，

∴BD=B

∴sin∠

过点D作DF⊥AB交于一点F，如图所示

∴CD=DF（角平分线的性质定理）

∴BF=BC=3

∴OF=BFOB=3r，OF=CD=3

∴OD2=O

∴r=15

∵OD//

∴∠ABC=∠FOD

∴sin∠

∴sin∠

②cos∠

∴sin∠

∴sin∠

猜测sin

当α=30°时2α=60°

∴sin2

sinα

cosα

∴sin

∴sin

【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系、切线的判定、三角函数之间的关系，解题的关键在于找到角与边之间的关系，进而求出结果．

3．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在AB上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接．

（1）求sin∠

（2）求的值；

（3）令ME=x，，直径AB=2R（，是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．

【答案】（1）25