3.3.2定积分在几何上的应用 教案 《高等数学（第三版）》（高教版）.docx

3.3.2定积分在几何上的应用教案《高等数学（第三版）》（高教版）

科目

授课时间节次

--年—月—日（星期——）第—节

指导教师

授课班级、授课课时

授课题目

（包括教材及章节名称）

3.3.2定积分在几何上的应用教案《高等数学（第三版）》（高教版）

课程基本信息

1.课程名称：3.3.2定积分在几何上的应用

2.教学年级和班级：大学一年级

3.授课时间：2023年10月15日

4.教学时数：2课时

本节课将结合《高等数学（第三版）》（高教版）教材，详细讲解定积分在几何上的应用，包括计算平面区域的面积、旋转体的体积等。通过本节课的学习，使学生掌握定积分在几何问题中的应用方法，提高解决实际问题的能力。

核心素养目标

1.理解并运用定积分的基本概念，提升数学抽象思维能力。

2.能够将定积分应用于几何问题的解决，发展空间想象力和数学建模能力。

3.培养运用数学知识解决实际问题的意识和能力，提高数学应用素养。

教学难点与重点

1.教学重点：

①定积分的定义和性质的理解与应用。

②定积分在几何中计算平面区域面积和旋转体体积的方法。

2.教学难点：

①定积分概念中“无限逼近”和“极限”的理解，尤其是从直观到抽象的过渡。

②将具体的几何问题转化为定积分表达式的过程，包括坐标变换和积分边界的确定。

③对于旋转体体积的计算，如何合理选择旋转轴和积分变量的转换，以及积分上下限的确定。

教学方法与手段

1.教学方法：

①采用讲授法，系统地介绍定积分的几何应用理论。

②运用讨论法，组织学生就具体例题进行小组讨论，促进理解和应用。

③通过问题驱动法，提出实际问题，引导学生探索定积分在几何中的应用。

2.教学手段：

①利用多媒体设备展示定积分的动态图像，帮助学生直观理解。

②使用教学软件进行互动式教学，增强学生的学习参与度。

③结合网络资源，提供额外的学习材料和练习题，拓展学生的学习视野。

教学流程

1.导入新课（5分钟）

详细内容：首先通过一个简单的几何问题，如计算一个矩形的面积，引导学生回顾之前学过的面积计算方法。然后提出一个新的问题：如何计算不规则图形的面积？从而引入定积分的概念，并说明本节课将学习定积分在几何上的应用。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

①介绍定积分的定义和性质，通过图形演示定积分如何表示一个区域的面积。

②讲解定积分在计算平面区域面积中的应用，通过示例分析如何将不规则图形分割成规则图形进行积分。

③详细说明定积分在计算旋转体体积中的应用，通过举例讲解如何选择旋转轴和设置积分变量。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

①让学生独立计算一个简单的不规则图形的面积，巩固定积分面积的计算方法。

②要求学生尝试计算一个旋转体的体积，让学生在实际操作中理解定积分的应用。

③提供一些实际生活中的几何问题，让学生运用定积分解决，如计算一个容器装满水的体积。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容：

①讨论定积分在几何应用中遇到的问题，如如何确定积分边界和旋转轴。

②分享在实践活动中遇到的问题和解决方案，如计算过程中遇到的数学困难。

③讨论如何将定积分的理论应用到更复杂的几何问题中，例如计算多边形区域的面积。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课的重点内容，强调定积分在几何应用中的关键步骤和注意事项。通过一个简单的例子，再次演示定积分如何用于计算面积和体积，确保学生理解并掌握本节课的知识点。

（本节课总用时45分钟）

教学资源拓展

1.拓展资源：

①定积分的发展历史：介绍定积分的历史背景，包括牛顿和莱布尼茨对定积分的贡献，以及定积分在数学分析中的地位。

②定积分在物理中的应用：讲解定积分在物理学中的运用，如计算物体的质心、转动惯量等。

③定积分在工程和经济中的应用：展示定积分在工程计算和经济分析中的实际案例，如计算曲线下的面积来评估经济指标。

④高阶定积分的应用：介绍定积分的更高级应用，如多重积分在计算体积和表面积中的应用。

⑤数学软件的使用：介绍如何使用Mathematica、MATLAB等数学软件进行定积分的计算和可视化。

2.拓展建议：

①阅读拓展：建议学生阅读关于定积分历史的书籍或文章，以加深对定积分概念的理解。

②实践拓展：鼓励学生通过解决实际物理或工程问题来应用定积分，如计算物体在重力作用下的位移。

③软件学习：指导学生学习使用数学软件进行定积分的计算和图形绘制，提高计算效率和理解力。

④研究项目：鼓励学生参与学校或社区的研究项目，将定积分应用于实际问题中，如环境科学中的污染评估。

⑤小组学习：建议学生组成学习小组，共同探讨定积分在不同领域的应用，并分享学习心得和问题解决方案。

板书设计

1.定积分的几何应用

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