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向量的投影与射影

内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军

《学普联考卷2012届高三第一次月考区专用新课标》

二、填空题13题（理科）：

已知三点，则向量在方向上的投

影为_______________。

或许对于选用了人教版地区的学生来说，这是一道再简

单不过的题，但是对于选用了人教版的学生来说，这道题

就不是那么好做了！原因很简单，人教版与人教版上竟

然给出了两个不同的概念，如果上课时没有补充讲解、辨析

清楚，这两个概念会使学生一头雾水。刚好我跨年级教学，

既用人教版，又用人教版，现在遇到了，就对这两个概

念简单地说明一下。

一、概念比较

①人教A版：（—2.4.1）已知两个非零向量与，我

们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，

即，其中是与的夹角，（）叫做

向量在方向上（在方向上）的投影（如下图）。

②人教B版：（—2.3.1）已知向量和轴（如下图）。

作，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则

叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴

上的坐标，称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量，

记作。

二、概念异同

①不同点：向量的投影是一个实数；向量的射影是一个向

量；二者不是同一类，求法各不同。

②相同点：向量投影与向量射影的数量是等价的；在数学

上表示同一个意思，求法是相同的。

三、求解举例

【例题】已知三点，则向量在方向

上的投影为_________。

【解析】向量在方向上的投影是实数，利用投影公

式求解。

由得：，，利用投影公

式可知：

。

所以，向量在方向上的投影为。

【变式】已知三点，则向量在方向

上的射影为_________。

【解析】向量在方向上的射影是向量，利用公式

求解。

由得：，，利用射影公

式可知：

所以，向量在方向上的射影为。

注意：向量在方向上的投影为实数，向量在

方向上的射影为向量它们的类型显然是不同的；但向

量在方向上射影的数量为实数，与向量在方

向上的投影为实数是一回事儿！这一点，希望同学们能

注意，不要把概念弄混淆。

2011-12-06