05挑战压轴题（解答题三）-2022年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编（安徽卷）.docxVIP

2022年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编（安徽考卷）

05挑战压轴题（解答题三）

1．（2022·安徽宣城）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF．

（1）求证：；

（2）如图2，若，，，求BE的长；

（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）6；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得；

（2）证明，利用相似三角形的性质即可求解；

（3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值．

【详解】

（1）证明：，

；

，

，，

，

，，

，，

，，

四边形AFCD是平行四边形

在与中．

，

（2），

，

在中，，

，

，

又，，

，

在与中．

，

；

；

，

；

，

；

，

，

或（舍）；

（3）延长BM、ED交于点G．

与均为等腰三角形，，

，

，

设，，，

则，，

，

，

；

在与中，

，

；

．

；

，

，

，

，

，

，

，

，

（舍），，

．

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键．

2．（安徽省2020年中考数学试题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点

求证：；

若，求的长；

如图2，连接，求证：．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【分析】

（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90o即可证得结论；

（2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可；

（3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论．

【详解】

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠EAD=90o，AO=BC，AD∥BC，

在△EAF和△DAB，

，

∴△EAF≌△DAB(SAS)，

∴∠E=∠BDA，

∵∠BDA+∠ABD=90o，

∴∠E+∠ABD=90o，

∴∠EGB=90o，

∴BG⊥EC；

（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，

∵AF∥BC，∠E=∠E，

∴△EAF∽△EBC，

∴，又AF=AB=1，

∴即，

解得：，（舍去）

即AE=；

（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，

在△EAH和△DAG，

，

∴△EAH≌△DAG(SAS)，

∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，

∵∠EAH+∠DAH=90o，

∴∠DAG+∠DAH=90o，

∴∠HAG=90o，

∴△GAH是等腰直角三角形，

∴即，

∴GH=AG，

∵GH=EGEH=EGDG，

∴．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．

3．（安徽省2019年中考数学试题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°

（1）求证：△PAB∽△PBC

（2）求证：PA=2PC

（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】

（1）结合题意，易得∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，然后由∠APB=∠BPC=135°即可证明△PAB∽△PBC；

（2）根据（1）中△PAB∽△PBC，可得，然后由△ABC是等腰直角三角形，可得出，易得PA=2PC；

（3）过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，首先由Rt△AEP∽Rt△CDP得出，即，再根据△PAB∽△PBC可得出，整理即可得到.

【详解】

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC

又∠APB=135°，

∴∠PAB+∠PBA=45°，

∴∠PBC=∠PAB，

又∵∠APB=∠BPC=135°，

∴△PAB∽△PBC；

（2）∵△PAB∽△PBC，

∴，

在Rt△ABC中，AC=BC，

∴,

∴

∴PA=2PC；

（3）

过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，

∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，

∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°,

又∵∠ACB=∠AC