数列前n项和求解（学生版）基础.docxVIP

数列

——数列前n项和求解方法

教学目标：

1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；

2．掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式；

3．熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和.

教学重难点：

掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式；

掌握求数列前n项和Sn的几种常用方法

知识梳理

数列的前n项和Sn的相关公式

任意数列的第项与前项和之间的关系式：

等差数列的前项和公式：

（为常数）

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；

当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式.

等比数列的前项和公式：

当时，，，

当时，或

要点诠释：等比数列的求和中若q的范围不确定，要特别注意的情况.

求数列的前项和的几种常用方法

公式法：

如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和；

倒序相加法：

等差数列前n项和的推导方法，即将倒写后再与相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.

裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和.

常见的拆项公式：

①；

②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则；

③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则.

④；.

分解求和与并项求和法：

把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和.

错位相减法：

如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和.

一般步骤：

，则

所以有

要点诠释：

①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前项和的两边都乘以等比数列的公比q后，再错位相减求出其前项和；

②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错位相减法会不成立.

3.掌握一些常见数列的前n项和公式

1.；

2.

3.；

要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便.

二、典例分析

公式法（直接利用或者转化后利用等差或等比数列求和公式）

例1．设数列的通项为则=

练1.已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且则数列的前5项和为

错位相减法

例2．设，求数列：,,,…,,…的前项和.

【总结升华】

1.一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相乘形成的数列（也称为“差比数列”）都用错位相减的办法来求前n项之和.

2.错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法，一般都选择乘以q；

3.在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错项相减法会不成立.

练1.求和（）.

变式1.求数列的前项和.

裂项相消法

例3．求数列的前n项的和.

【总结升华】

1.本题所用的方法叫做裂项相消法，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的.一般地，对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常用此法，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.

2.在学习中也应积累一些常见的拆项公式，如：

①；

②若为等差数列，公差为d，则；

③，.

练3.求数列，，，…，，…的前n项和

变式1.求和:（）

分组转化法求和

例4．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．

(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和．

【总结升华】

1.一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.

2.一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.

练4.求和

变式1.已知数列的首项，通项（，是常数），且成等差数列.

（1）求的值；

（2）求数列的前n项和.

变式2.（2016北京文）已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.

（Ⅰ）求{an