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北京市八一学校2024~2025学年度第一学期9月
高二数学试卷
2024.09
本试卷共4页,120分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将答题卡交回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项
1.复数在复平面上对应的点的坐标为()
A.(1,1) B.(-1,1) C.(-1,-1) D.(1,-1)
2.已知角的终边经过点,则()
A. B. C. D.
3.如图,八面体的每个面都是正三角形,并且4个顶点A,B,C,D在同一平面内,若四边形是边长为2的正方形,则这个八面体的表面积为()
A.8 B.6 C. D.
4.已知圆锥的母线长为5,底面圆的半径为3,则该圆锥的体积为()
A. B. C. D.
5.在正方体中,直线与直线所成角的大小为()
A.30° B.45° C.60° D.120°
6.已知,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
7.已知空间中的不过同一点的三条直线,m,n.“,m,n共面”是“,m,n两两相交”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.在正方体中,点E,F分别是,的中点,则下列说法正确的是()
A.平面 B.平面
C.A,E,B,F四点共面 D.直线与底面所成角的正切值为
9.四面体的一条棱长为x,其余棱长均为2,记四面体的表面积为,则函数的最大值为()
A. B. C. D.
10.已知正方体的棱长为2,M,N分别是棱、的中点,点P在平面内,点Q在线段上.若,则长度的最小值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.已知长方体的长、宽、高分别为3,2,1,则它的体对角线长为________.
12.如图,已知矩形中,,,平面,且,则的长为________.
13.在正三棱柱中,,则直线与所成角的大小为__________;点A到平面的距离为________.
14.在边长为4的正方形内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分),折叠成底面边长为的正四棱锥(如图2),则正四棱锥的体积为________.
15.如图,正方体的棱长为4,E为的中点,F为线段上的动点,过点A,E,F的平面截该正方体所得截面记为S,当时,截面S与,分别交于M,N,则_________.
三、解答题:本大题共4小题,共45分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程
16.(本小题满分10分)
已知正三棱锥,请从条件①,条件②,条件③中选择两个条件作为已知,便三棱锥存在,并求出此正三棱锥的体积.
①底面边长为2;
②侧棱长为;
③斜高为2.
17.(本小题满分10分)
如图,在棱长为2的正方体中,点E,F分别是棱,的中点.求证:
(I)平面;
(Ⅱ)平面;
18.(本小题满分15分)
如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,且,侧面是正三角形,是上一动点,N是的中点、
(Ⅰ)若平面,求证:M是的中点;
(Ⅱ)若平面平面,求线段的长;
(Ⅲ)是否存在点M、使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分10分)
已知定义在上的函数,满足以下三个条件:
①;
②;
③存在集合.
(I)判断函数的奇偶性,并说明现由、
(Ⅱ)求,的值.
(Ⅲ)判断命题p:“是周期函数”的真假,并说明理由.
2024~2025学年度第一学期9月月考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1~5DCCAC6~10DBBBC
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.12.613.;14.15.
第13题第一空3分,第二空2分
三、解答题:本大题共4小题,共45分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.(本小题满分10分)解答:若选②③得0分.
选①②
过点P作平面,O为的中心,
在中,
正三棱锥的体积为
选①③过点P作平面,O为的中心,在中过点P作
,
在中,
正三棱锥的体积为.
17.(本小题满分10分)
解:(I)∵E,F分别为,的中点,,,
∴且,
∴四边形为平行四边形,
∴,
又平面,平面,
∴平面.
(Ⅱ)∵四边形为正方形,∴
∵,.
∵平面,平面,∴.
∵,∴,
又,平面,∴平面.
18.(本小题满分15分)
(1)证明:若平面.
因为平面,平面平面
所以.
又因为在中,点N是中点,
所以点M是中点.
(2)证明:如图,取中
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