北京市八一学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题.docx

北京市八一学校2024~2025学年度第一学期9月

高二数学试卷

2024.09

本试卷共4页，120分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

1.复数在复平面上对应的点的坐标为（）

A.（1，1） B.（-1，1） C.（-1，-1） D.（1，-1）

2.已知角的终边经过点，则（）

A. B. C. D.

3.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（）

A.8 B.6 C. D.

4.已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为（）

A. B. C. D.

5.在正方体中，直线与直线所成角的大小为（）

A.30° B.45° C.60° D.120°

6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

7.已知空间中的不过同一点的三条直线，m，n.“，m，n共面”是“，m，n两两相交”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.在正方体中，点E，F分别是，的中点，则下列说法正确的是（）

A.平面 B.平面

C.A，E，B，F四点共面 D.直线与底面所成角的正切值为

9.四面体的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体的表面积为，则函数的最大值为（）

A. B. C. D.

10.已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱、的中点，点P在平面内，点Q在线段上.若，则长度的最小值为（）

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则它的体对角线长为________.

12.如图，已知矩形中，，，平面，且，则的长为________.

13.在正三棱柱中，，则直线与所成角的大小为__________；点A到平面的距离为________.

14.在边长为4的正方形内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为的正四棱锥（如图2），则正四棱锥的体积为________.

15.如图，正方体的棱长为4，E为的中点，F为线段上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，当时，截面S与，分别交于M，N，则_________.

三、解答题：本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

16.（本小题满分10分）

已知正三棱锥，请从条件①，条件②，条件③中选择两个条件作为已知，便三棱锥存在，并求出此正三棱锥的体积.

①底面边长为2；

②侧棱长为；

③斜高为2.

17.（本小题满分10分）

如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点.求证：

（I）平面；

（Ⅱ）平面；

18.（本小题满分15分）

如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，侧面是正三角形，是上一动点，N是的中点、

（Ⅰ）若平面，求证：M是的中点；

（Ⅱ）若平面平面，求线段的长；

（Ⅲ）是否存在点M、使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分10分）

已知定义在上的函数，满足以下三个条件：

①；

②；

③存在集合.

（I）判断函数的奇偶性，并说明现由、

（Ⅱ）求，的值.

（Ⅲ）判断命题p：“是周期函数”的真假，并说明理由.

2024~2025学年度第一学期9月月考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1~5DCCAC6~10DBBBC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.12.613.；14.15.

第13题第一空3分，第二空2分

三、解答题：本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.（本小题满分10分）解答：若选②③得0分.

选①②

过点P作平面，O为的中心，

在中，

正三棱锥的体积为

选①③过点P作平面，O为的中心，在中过点P作

，

在中，

正三棱锥的体积为.

17.（本小题满分10分）

解：（I）∵E，F分别为，的中点，，，

∴且，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又平面，平面，

∴平面.

（Ⅱ）∵四边形为正方形，∴

∵，.

∵平面，平面，∴.

∵，∴，

又，平面，∴平面.

18.（本小题满分15分）

（1）证明：若平面.

因为平面，平面平面

所以.

又因为在中，点N是中点，

所以点M是中点.

（2）证明：如图，取中