第五板块　解析几何.DOC

第五板块

解析几何

悉高考

从高考试题来看，解析几何是高考必考内容，一般是以“3小1大”的形式出现，难度中档偏上，考查内容几乎覆盖了该部分的所有知识，如直线、圆、圆锥曲线方程与性质，直线与圆锥曲线的位置关系.基础小题一般涉及圆的方程，直线与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线的简单性质等，压轴小题一般涉及直线与圆锥曲线的位置关系及离心率问题等.

解答题一般出现在后两题的位置，作为压轴题考查.主要涉及定点、定值、最值、范围、证明问题等.

小题基准考法——直线与圆

命题点一直线与方程

[一练而过]

1．已知a0，b0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为()

A．1B．3C．8D．9

解析：选D因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1.即－eq\f(a,b)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,1－a)))＝－1，即2a＋b＝ab，整理可得eq\f(2,b)＋eq\f(1,a)＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,b)＋\f(1,a)))＝eq\f(2a,b)＋1＋4＋eq\f(2b,a)≥5＋2eq\r(\f(2a,b)×\f(2b,a))＝9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．因此a＋2b的最小值为9.

2．若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选C若“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”，则a2－1＝0，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，直线l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y－4＝0，此时l1∥l2，符合题意；当a＝－1时，直线l1：－x＋y＋2＝0，即l1：x－y－2＝0，l2：x－y－2＝0，此时l1，l2重合，不符合题意．综上所述，“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”等价于a＝1.所以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充要条件．

3．(2023·东北师大附中二模)直线l的方程为(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)，当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为()

A．－1B．－5C．1D．5

解析：选B直线方程(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)可化为λ(x＋y－3)＋(2x－y)＝0.

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,2x－y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以直线(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)过定点A(1,2)．当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大，且kOA＝2.又因为直线l的斜率为k＝－eq\f(λ＋2,λ－1)＝－eq\f(1,2)，解得λ＝－5.

4．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和________．

解析：令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tanα＝2，tanθ＝k.当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan(π－α)＝－tanα＝－2；当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(2k,1－k2)＝2，整理得k2＋k－1＝0.而k0，解得k＝eq\f(\r(5)－1,2)；当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，θ＝2α，k＝tanθ＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3)，所以k的两个可能取值－2，eq\f(\r(5)－1,2).

答案：－2eq\f(\r(5)－1,2)(答案不唯一)

[一站补给]

知识的“盲点”

倾斜角α与斜率k的关系：当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，k∈[0，＋∞)，当α＝eq\f(π,2)时，斜率k不存在，当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，k∈(－∞，0)

思维的“难点”

(1)设直线的方程时要注意其适用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．

(