北师版高中数学必修第二册课后习题第5章 §3 复数的三角表示.docVIP

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*§3复数的三角表示

课后训练巩固提升

A组

1.复数z=sin15°+icos15°的三角形式是().

A.cos195°+isin195°

B.sin75°+icos75°

C.cos15°+isin15°

D.cos75°+isin75°

2.复数sin50°-isin140°的辐角的主值是().

A.150° B.40°

C.-40° D.320°

3.若复数z=(a+i)2的辐角是3π2

A.1 B.-1

C.-2 D.-3

4.若复数cosθ+isinθ和sinθ+icosθ相等,则θ的值为().

A.π4

B.π

C.2kπ+π4(k∈Z)

D.kπ+π4(k∈

5.如果θ∈π2

A.2[cos9π4-θ

B.2[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)]

C.2[cosπ4+θ+isin

D.2[cos3π4+θ+isin

6.已知z=cos2π3+isin2π3,则argz2=

7.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转π2,所得到的向量对应的复数是

8.设复数z1=1+3i,z2=3+i,则z1z2

9.已知z1=12cosπ3+isinπ3,z2=6(cosπ6

B组

1.设πθ5π4,则复数cos2θ+isin2θ

A.2π-3θ B.3θ-2π

C.3θ D.3θ-π

2.复数z=tanθ+iπ2

A.1cosθ

B.1cosθ

C.-1cosθ[cos(3π2-θ)+isin(3π

D.-1cosθ[cos(3π2+θ)+isin(3π

3.已知复数z满足z2+2z+4=0,且argz∈π2,π

4.将复数1+3i所表示的向量绕原点O按逆时针方向旋转θ角(0θ2π)所得的向量对应的复数为-2,则θ=.?

5.设O为复平面的原点,A,B为单位圆上两点,A,B所对应的复数分别为z1,z2,z1,z2的辐角的主值分别为α,β.若△AOB的重心G对应的复数为13

6.设复数z1=3+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1z22的对应点在虚轴的负半轴上,且argz2∈(0,π),求z

答案：

A组

1.Dz=sin15°+icos15°=cos75°+isin75°,故选D.

2.Dsin50°-isin140°=cos(270°+50°)+isin(180°+140°)=cos320°+isin320°.

3.B∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,argz=3π2

∴a2-

4.D因为cosθ+isinθ=sinθ+icosθ,所以cosθ=sinθ,即tanθ=1,所以θ=π4+kπ(k∈

5.A因为1+i=2cos

cosθ-isinθ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ),

所以(1+i)(cosθ-isinθ)=2[cosπ4+2π-

=2cos

6.4π3因为argz=2π3,所以argz2=2argz=2×

7.1-i(1+i)cos

=2

=2[cos(π4-π2)

=2[cos(-π4)+isin-

=1-i.

8.π6由题知,z1=2cosπ3+isinπ3,z2=2(cosπ6+isin

9.解z1z2=12×6×[cosπ3+π6+isin(

首先作复数z1对应的向量OZ1,然后将OZ1绕点O按逆时针方向旋转π6

B组

1.Bcos2θ+isin2θcosθ

因为πθ5π4,所以3π3θ15π4,所以π3θ-2π

2.Cz=tanθ+i=sinθcosθ+i=1

∵π2θπ,∴1cosθ0,∴z=-1cosθ(-sinθ-icosθ)=-1cosθ[cos(3π2-θ)+isin

3.z=2cos2π3+isin2π3由z2+2z+4=0,得z=1

因为argz∈π2,π

所以z=-1+3i=2cos2π

4.2π3由题意知,(1+3

即2cosπ3+isinπ3(cosθ+isinθ)=2[cos(π3

所以cosπ3+θ=-1,sin

又0θ2π,所以π3π

则π3+θ=π,于是θ=2π

5.解由题意可设z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ.

因为△AOB的重心G对应的复数为13

所以z1+z23=1

于是有cosα+cosβ=1

所以tanα+β2=1

6.解因为z1=2cosπ6+isinπ6

所以z1z22=8[cos2α+

由题设知2α+π6=2kπ+3π2(k∈Z),所以α=kπ+2π3(k∈

又α∈(0,π),所以α=2π3,所以z2=2cos2π3