数学互动课堂最大值与最小值.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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互动课堂

疏导引导

本课时的重点是函数的最大(小）值与导数的关系；难点是准确、深刻地理解函数最值的概念，揭示函数最值与极值的区别与联系.

1.（1）函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.

(2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.

（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值.

（4)如果函数在闭区间［a，b］上可导，则确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。

（5)在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.

2。函数f（x）在[a,b］上连续是使f（x）有最大值与最小值的充分而不必要条件.

对“在闭区间[a，b］上连续的函数f（x）在[a,b］上必有最大值和最小值”应如下理解:

（1)给定函数的区间必须是闭区间，即f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值.

（2）在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值和最小值。

3。求连续函数f(x)在闭区间[a，b］上的最大值和最小值的一般步骤是:

（1)求函数f(x)在开区间（a，b)内的极值；

（2）求函数f（x)在区间端点的值f（a）、f（b）;

(3)将函数f（x)的各极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

4.函数的最值与极值不是同一个概念，若函数在闭区间［a，b］内有多个极值时，则最值为极值与端点处的函数值相比较得到;若连续函数f（x)在［a,b]上只有一个导数为零的点且在该点取得极大（小)值，那么这个极大(小)值就是最大（小）值.

案例（2005北京高考)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a。

（1）求f（x）的单调减区间;

(2）若f（x)在区间［-2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

【探究】(1）f′（x)=-3x2+6x+9.令f′(x）＜0，解得x＜—1或x＞3,所以函数f(x）的单调递减区间为（—∞,-1）,（3,+∞).

(2)因为f（—2）=8+12—18+a=2+a，f（2)=—8+12+18+a=22+a，

所以f（2)＞f(-2）.

因为在(-1，3)上f′(x）＞0,所以f(x）在［—1，2］上单调递增，又由于f（x)在［-2，-1］上单调递减，因此f(2)和f(-1）分别是f（x)在区间［-2，2］上的最大值和最小值。

于是有22+a=20,解得a=—2。

故f（x）=-x3+3x2+9x-2。因此f（-1)=1+3—9—2=—7,

即函数f（x）在区间[-2，2］上的最小值为-7.

【规律总结】函数求导的方法研究函数的单调性及最值问题近几年高考试题中屡屡出现,成为热门题型.要熟练掌握各种常见函数的求导方法及研究单调、最值的基本思路。

活学巧用

1.给出下面四个命题:

（1）函数y=x2—5x+4(-1≤x≤1）的最大值为10，最小值为;

(2）函数y=2x2—4x+1(—2＜x＜4）的最大值为17，最小值为—1；

(3)函数y=x3-12x(—3＜x＜3)的最大值为16，最小值为—16;

(4）函数y=x3-12x（—2＜x＜2）既无最大值，也无最小值.

其中正确命题的个数有（)

A。1B.2C.3

解析：（1）y′=2x-5，令y′=0,得x=，但x∈［—1，1］，舍去,又函数f(x)在区间的端点值为f(—1)=10，f(1)=0。

∴f(x)max=10,f（x)min=0，∴（1)错误。

(2）f′（x）=4x—4,令f′(x）=0，得x=1.

若x∈(1,4），则f′（x)＞0，

若x∈(-2，1)，则f′(x）＜0。

∴x=1是函数f(x）的极小值点，也是函数f(x)的最小值。

∴f（x）min=f(1)=—1。

可知f(x)无最大值.∴（2)错误。

（3）f′（x)=3x2-12=3（x2—4),

令f′(x)=0,得x=-2，或x=2。

∴x=2和x=-2是函数f（x）的极值点，且

f(2）=23-24=—16，f(—2）=-23+24=-16。

又f(3）=—9，f（-3）=9，其图象如图所示.

f（x）max=f(-2）=16，f(x