数学利用不等式求最大（小）值单元测试.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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单元测试

1。设x、y∈R+，且满足x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是(）

A。40B。10C。4

解析：lgx+lgy=lg（xy）=lg≤lg=lg=2。

答案：D

2。已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为（）

A.B。2C。D.3

解析：∵(2x+y)2=(·+y)2≤[（)2+1］[（)2+y2］=3(2x2+y2)=3，

∴2x+y≤。

答案:C

3.设x、y∈R,且x+y=4,则3x+3y的最小值为（）

A.9B。18C。3

解析:∵3x+3y≥==18.

答案：B

4。已知a+b+c=3,且a、b、c∈R+，则的最小值为（)

A.3B.1C.D。

解析：∵（)［（3—a）+（3-b）+（3-c）］≥a+b+c=3，

而(3—a）+（3-b)+(3-c)=9—(a+b+c）=6,

∴≥。

答案:D

5.已知a+b+c+d=，则的最小值为（)

A.B。2C。1

解析：∵（12+12）（a2+b2)≥(a+b）2，

∴.

同理，，，

∴(a+b)+（b+c)+（c+d)+(d+a)=×2（a+b+c+d）=2，∴最小值为2。

答案：B

6.x〉0,y〉0且x+y=1,则≤a恒成立的a的最小值是(）

A.B.C.2D.

解析：∵a2≥(）2=x+y+2，

又∵x+y+2≤2(x+y)=2，由≤a恒成立，得a2≥2，即amin=。

答案：B

7。已知+2+3=9,则x+y+z的最小值为（）

A。3B.1C.

解析：∵（）2≤(12+22+32）［(2x+1）+（2y+3)+（3z+4)］

=14（2x+2y+3z+8）=28(x+y+z+4）,

∴x+y+z+4≥.

∴x+y+≥-4=-.

答案:C

8。若x〉0，则4x+的最小值为()

A。50B.100C.

解析：4x+=2x+2x+≥.

答案:C

9。设x〉0,y0,x2+=1,则的最大值为________________。

解析：∵x0，y0，x2+=1,∴=≤.

答案：

10。（a+b+c）(++）的最小值为______________(a、b、c∈R+)。

解析:（a+b+c）(++)≥（）2=9.

答案:9

11.若a+b+c+d=1，且a、b、c、d∈R+,则的最小值为__________.

解析：∵［(1+a）+（1+b)+（1+c）+(1+d)］(+++)

≥a+b+c+d=1,

∴++≥.

答案：

12。函数①y=x2+;②y=;③y=ex+4e-x;④y=sinx+(0〈xπ)中最小值为4的函数为_____________.(只填序号)

解析：①y=x2+≥=4，当且仅当x2=，即x2=2时取“=。

②y==4。

当且仅当时取“=”，但≠，∴最小值不是4.

③y=ex+4e-x≥=4,当且仅当ex=4e-x，即ex=2时取“=”。

④∵0x〈π,

∴sinx0,y=sinx+≥=4.

但sinx≠,∴最小值不是4.

答案：①③

13.已知x1，x2，…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=n,求证:≥n.

证明：∵（x1+x2+…+xn)()≥(1+1+…+1)2=n2，

又∵x1+x2+…+xn=n，∴++…+≥n。

14.已知a〉b0，求a2+的最小值.

分析:可构造乘积为定值，求和的最小值。

解:∵a〉b〉0,∴a-b〉0。

∴0b(a-b)≤［］2=.

∴。

∴a2+≥a2+≥=16。

当且仅当a2=,即a=且b=a-b，b==时取“=.

∴当a=，b=时,a2+最小为16。

15。已知2x2+y2+5z2=3，求S=x+2y+3z的最大值。

解:S2=(x+2y+3z)2=［(x)+2·y+］2

≤［()2+22+(）2］［(x）2+y2+（z）2］=（+4+)(2x2+y2+5z2）

=（2x2+y2+5z2)=×3=，

∴S≤.∴S的最大值为.

16。某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状）,高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅,每米