北师版高中数学必修第一册课后习题 第1章 预备知识 4.3 一元二次不等式的应用 (2).docVIP

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4.3一元二次不等式的应用

课后训练巩固提升

1.已知2x2+(1-m2)的值为().

A.-1 B.0 C.1 D.2

解析:由题意知,4m2+2(1-m2)-4m≤0,即m2-2m+1≤0,即(m-1)2≤0,解得m=1.

答案:C

2.已知a,b同号,且关于x的一元二次不等式ax2+2+n的最大值是().

A.2 B.4 C.-2 D.-4

解析:∵a,b同号,且关于x的一元二次不等式ax2+2x+b0的解集为xx≠

∴a0,b0,且方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根x1==b+1a,n=a+1

∴m+n=a+b+1a+1

∴m+n的最大值是-4.

答案:D

3.将进货价格为每个80元的商品按每个90元售出时,能卖出400个,每涨价1元,其销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,售价(单位:元)所在的范围应是().

A.(90,100) B.(90,110)

C.(100,110) D.(80,100)

解析:设每个涨价x元,若y表示涨价后的利润与原利润之差,则y=(10+x)(400-20x)-10×400=-20x2+200x.

要使商家利润有所增加,则必须使y0,即-20x2+200x0,即x2-10x0,解得0x10.所以售价应(单位:元)在区间(90,100)内.

答案:A

4.已知函数y=2x2+bx+c,不等式y0的解集是{x|1x5},则函数的解析式为;若对于任意1≤x≤3,不等式y≤2+t有解,则实数t的取值范围为.?

解析:由题意知1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系知,-b2=6,c2=5,解得b=-12,c=10,所以y=2x

当1≤x≤3时,不等式y≤2+t有解,等价于当1≤x≤3时,2x2-12x+8≤t有解,只要t大于或等于2x2-12x+8(1≤x≤3)的最小值即可,不妨设y1=2x2-12x+8,1≤x≤3,则当x=3时,y1有最小值-10,所以t≥-10.

答案:y=2x2-12x+10[-10,+∞)

5.某小型服装厂生产一种风衣,若日销售量等于日产量,且日销售量x(单位:件)与价格P(单位:元)之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本C=500+30x(单位:元),则该厂日产量最小为件时,每天获利不少于1300元.?

解析:由题意,得(160-2x)x-(500+30x)≥1300,化简得x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.所以日产量最小为20件时,每天获利不少于1300元.

答案:20

6.已知关于x的不等式4x+mx

解:∵x2-2x+3=(2(x2-2x+3)恒成立,

∴20恒成立.

∴方程2=0的判别式Δ=64-8(6-m)=16+8m0,解得m-2.

∴实数m的取值范围为{m|m-2}.

7.某公司为了竞标某活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.

(1)据市场调查,若价格每提高1元,年销售量将相应减少2000件,要使年销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?

(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将每件定价提高到x元.公司拟投入16(x2-600)万元作为技术革新费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x

解:(1)设该商品每件定价为t元,依题意得(8-t-251

整理得t2-65t+1000≤0,解得25≤t≤40.

所以要使年销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为40元.

(2)依题意得,当x25时,不等式ax≥25×8+50+16(x2-600)+x5有解,等价于当x25时,a≥

因为150x+x6≥2

故当技术革新后,该商品的年销售量a至少达到10.2万件时,才可能使技术革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.