北师版高中数学必修第二册课后习题第2章 习题课——向量的数量积运算.docVIP

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习题课——向量的数量积运算

课后训练巩固提升

1.在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,若E,F分别为AB,BC的中点,则DE·

A.8 B.10

C.12 D.14

2.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,a⊥(a+b),则向量a在b方向上的投影数量为().

A.-1 B.-2

C.2 D.1

3.在直角梯形ABCD中,AB=8,CD=4,AB∥CD,AB⊥AD,E是BC的中点,则AB·(AC+

A.32 B.48

C.80 D.64

4.(多选题)设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列叙述正确的是().

A.若k-2,则a与b的夹角为钝角

B.|a|的最小值为2

C.与b垂直的单位向量为2

D.若|a|=2|b|,则k=22或-22

5.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则a·c=().

A.0 B.-2a2

C.2a2 D.-a2

6.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,则|a+b-c|的最小值为().

A.2-1 B.1

C.2+1 D.2

7.已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m=.?

8.已知两个单位向量a,b满足|a-b|=1,当|a-λb|取最小值时,λ=.?

9.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若AE·AF=1,则λ的值为

10.如图,在△ABC中,已知AB=4,AC=6,点E为AB的中点,点D,F在边BC,AC上,且AC=6AF,BC=3

(1)若∠BAC=π3,求AD

(2)求APAD

答案：

1.B根据题意,得DE·DF=(DA+AE)·(

2.A因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=4+2×4×cosa,b=4+8cosa,b=0,

所以cosa,b=-12,所以a,b=2π3.所以向量a在b方向上的投影数量为|a|cosa,b=2×

3.C∵AB·(AC+AE)=AB·AC+AB·AE,由数量积的几何意义可得AB·

∴AB·AC=32,同理

∴AB·(AC+

4.AB对于A,因为向量a=(k,2),b=(1,-1),所以当k-2时,a·b=k-20且-k-2≠0,即a与b的夹角为钝角,因此A正确;

对于B,因为|a|=k2

对于C,设与b垂直的单位向量为m=(x,y)且|m|=1,所以x-y=0且x2+

因此与m垂直的单位向量为(22,22)或(-2

对于D,因为|a|=2|b|,所以k2+4=2

5.A由非零向量a,b,c满足a+b+c=0,可得c=-(a+b),所以a·c=a·[-(a+b)]=-a2-a·b=-a2-|a|·|b|cosa,b.

因为a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,所以a·c=-a2-|a|·|b|cosa,b=-|a|2-2|a|2×-1

6.A∵a·b=0,且|a|=|b|=|c|=1,

∴|a+b|=2,又(a+b)·c=|a+b||c|cos(a+b),c=2cos(a+b),c,

∴|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3-2(a+b)·c=3-22cos(a+b),c,

∴当cos(a+b),c=1时,|a+b-c|min2=3-22=(2-1)2,∴|a+b-c|的最小值为

7.7利用平面向量的加法公式可得a+b=(-1+m,3),由平面向量垂直的充要条件可得(a+b)·a=(-1+m,3)·(-1,2)=-(-1+m)+6=0,解方程可得m=7.

8.12∵

∴1+1-2cosa,b=1,∴a,b=π3

∴两个单位向量a,b夹角为π3

∴|a-λb|=a2-2λa·b+

9.2如图,由题意可得AB·AD=|AB|·|AD|cos120°=2×2×(-12)=-2.在菱形ABCD中,易知AB=DC,AD=BC,所以AE=AB+BE=AB+

10.解(1)以AC所在直线为x轴,过B且垂直于AC的直线为y轴建立平面直角坐标系如图,则A(-2,0),F(-1,0),E(-1,3),D(43,

∴AD=(103,433),EF

∴cosAD,EF=AD·

(2)∵A,P,D三点共线,

∴可设AP=λAD=2λ3AB+λ3

由平面向量基本定理可得2λ3=

∴AP=