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专题20立体几何综合题
1．（2022?新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）由直三棱柱的体积为4，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
（2）连接交于点，，四边形为正方形，
，又平面平面，平面平面，
平面，，
由直三棱柱知平面，，又，
平面，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，又，解得，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
则，2，，，1，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，0，，
设平面的一个法向量为，，，
，令，则，，
平面的一个法向量为，1，，
，，
二面角的正弦值为．
2．（2021?新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）方法一：
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，1，，
设，0，，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故．
方法二：
过作，交于点，过作于点，连结，
由题意可知，，又平面
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以，
则为二面角的平面角，即，
又，
所以，则，
故，
所以，
因为，
则，
所以，则，
所以，则，
所以．
3．（2022?盐城一模）在三棱柱中，，，，，，为中点，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：，为中点，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面；
（2）在平面内过点作，如图，建立空间直角坐标系，
由，，，
，，
，，
，0，，，0，，，，5，，
，
由，得，，，
，，，
平面的一个法向量，0，，
设与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
4．（2022?江苏二模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面和平面所成锐二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：取的中点为，连接，，
则在等边中，，
又，，，面，
平面，平面，，
又，，，，，
，即，
又，，平面，平面，
在平面上，面面．
（2）以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，2，，
由（1）知平面的法向量为，0，，
，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
设平面和平面所成锐二面角的平面角为，
则平面和平面所成锐二面角的余弦值为
，
平面和平面所成锐二面角的的大小为．
5．（2022?江苏模拟）如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：取中点，连接，，则．
，，△为等边三角形，
，
，，
，，
，平面，
平面，平面平面．
（2）解：由题可知二面角的正弦值与二面角正弦值相等．
平面，过作于点，连接，
即为所求二面角的平面角，
，，
．
故二面角的正弦值为．
6．（2022?连云港二模）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小．
【答案】见解析
【详解】（1）因为是正三角形，点是中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为点，分别是，的中点，所以，
又因为，所以，又因为，，
平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
（2）在平面中，过点作，垂足为，
设，则，，．
以为正交基底，建立如图空间直角坐标系，
则，
设，，，则，，
设平面的法向量为，
由，令，故，
设平面的法向量为，
由，令，则，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
当，最大，此时锐二面角最小，
故当点为的中点时，平面与平面所成的锐二面角最小．
7．（2022?南通模拟）如图，在直四棱柱中，，，，．点在棱上，平面与棱交于点．
（1）求证：；
（2）若与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：在直四棱柱中中，平面，
平面，，连接，
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