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必考点10等边三角形的性质与判定
●题型一等边三角形的性质
★★★1、解决求线段长问题
【例题1】(2021秋?信都区期末)如图,在等边三角形ABC中,AB=4,D是边BC上一点,且∠BAD=30°,则CD的长为()
A.1 B.32 C.2
★★★2、解决求角度问题
【例题2】(2022?鞍山)如图,直线a∥b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上,∠2=40°,则∠1的度数为()
A.80° B.70° C.60° D.50°
【例题3】(2022春?大埔县期末)如图,△ABC是等边三角形,△ACE是等腰三角形,∠AEC=120°,
AE=CE,F为BC中点,连接AF.
(1)直接写出∠BAE的度数为;
(2)判断AF与CE的位置关系,并说明理由.
★★★3、利用等边三角形的性质证明线段相等问题
【例题4】(2021秋?庄浪县期末)如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明:BD=CE.
【例题5】(2020秋?环江县期中)如图,在等边△ABC中,DA=DC,DM⊥BC,垂足为M,E是BC延长线上的一点,CE=CD.求证:MB=ME.
【解题技巧提炼】
等边三角形的性质
(1)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形.
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法;
②可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中,腰和底、顶角和底角是相对而言的.
(2)等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.
等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴.
●题型二等边三角形的判定
【例题6】(2022春?嘉定区校级期末)下列条件中,不能说明△ABC为等边三角形的是()
A.∠A=∠B=60° B.∠B+∠C=120°
C.∠B=60°,AB=AC D.∠A=60°,AB=AC
【例题7】(2021秋?宁明县期末)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,CE⊥AB于点D,且
DE=DC.求证:△CEB为等边三角形.
【例题8】(2012?乐平市校级自主招生)如图,在△ABC中,∠B=60°,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连接CE、DE,使EC=DE,求证:△ABC是等边三角形.
【解题技巧提炼】
等边三角形的判定
(1)由定义判定:三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
说明:在证明一个三角形是等边三角形时,若已知或能求得三边相等则用定义来判定;若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明;若已知等腰三角形且有一个角为60°,则用判定定理2来证明.
●题型三含30°角的直角三角形的性质的应用
【例题9】(2022春?坪山区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,交BA的延长线于点F,若AF=2,则BF的长为.
【例题10】如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P,BQ⊥AD于点Q.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)请问PQ与BP有何关系?并说明理由.
【例题11】(2020秋?赣榆区期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E在BC上,且AE=BE.
(1)求∠CAE的度数;
(2)若点D为线段EC的中点,求证:△ADE是等边三角形.
【解题技巧提炼】
(1)含30度角的直角三角形的性质:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
(2)此结论是由等边三角形的性质推出,体现了直角三角形的性质,它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.
(3)注意:①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊定理,非直角三角形或一般直角三角形不能应用;
②应用时,要注意找准30°的角所对的直角边,点明斜边.
●题型四等边三角形的性质与判定的综合应用
【例题12】(2022春?神木市期末)如图,点D在等边△ABC的外部,连接AD、CD,AD=CD,过点D作DE∥AB交AC于点F,交BC于点E.
(1)判断△CEF的形状,并说明理由;
(2)连接BD,若BC=10,CF=4,求DE的长.
【例题13】(2021秋?孝南区期末)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB.∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F.
(1)求证:△ABD是等边三角形;
(2)求证:BE=AF.
【解题技巧提炼】
等边三
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