24.2 圆的基本性质　第3课时 课件 沪科版数学九年级下册 (2).pptxVIP

24.2圆的基本性质

第2课时

1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；

2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；

3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；

4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.

垂径定理

什么是轴对称图形？

如果一个图形沿一条直线，直线两旁的部分能够互相，那么这个图形叫轴对称图形.

对折

重合

我们学过哪些轴对称图形？

……

在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，你发现了什么？

O

①圆是轴对称图形，

②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

证明：过点A作AACD，交⊙O于点A，

垂足为M，连接OA，OA

在△OAA中，∵OAOA

∴△OAA是等腰三角形

又∵AACD

∴AM=MA，即CD是AA的垂直平分线.

如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.

C

D

A

A

M

O

如图，在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？

O

C

D

A

B

E

CDAB

△AOB是等腰三角形

AEEB

与重合；

与重合.

题设：

①CD是⊙O直径

②CDAB

①直径

②垂直于弦

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.

结论：

①平分弦

②平分弦所对的两条弧

①AEBE

②，

下列图形是否具备垂径定理的条件？

（1）

（2）

（3）

（4）

没有垂直

AB、CD都不是直径

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.

怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？

（1）

（2）

（3）

（4）

当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CDAB?

C

D

E

垂径定理的推论：

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

判断下列说法是否正确：

1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.平分弦的直径垂直于弦.

3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.

①过圆心，

②垂直于弦，

③平分弦，

④平分弦所对的优弧，

⑤平分弦所对的劣弧.

④平分弦所对的弧，

①②→③④⑤

①③→②④⑤

①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,

④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.

条件

结论

①②

③④⑤

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

①③

②④⑤

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

①④

②③⑤

①⑤

②③④

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.

②③

①⑤④

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧.

……

……

……

例1：如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离.

E

解：连接OA，过圆心O做OEAB，垂足为E.

AEEB

又∵OA5cm

∴在Rt△OEA中，有

即圆心O到弦AB的距离是4cm.

B

A

O

D

C

R

例2：赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥桥拱所在圆的半径(精确到0.1m).

解：过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交于点C，交AB于点D，则CD7.2m.

由垂径定理，得

设⊙O的半径为Rm，在Rt△AOD中，AOR，ODR7.2，AD18.7.

由勾股定理得：AO2OD2AD2，

∴R2(R7.2)218.72

答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m.

解得：R27.9.

C

2.在半径为4cm的⊙O中，有长为4cm的弦AB.计算：

(1)点O与AB的距离；

(2)AOB的度数.

C

解：(1)过点O作AB的垂线，垂足为C，连接OA.

由垂径定理得：