数列求通项（教师版）普通.docxVIP

数列

——数列求通项

教学目标：

理解数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

掌握求数列通项常用方法：定义法、公式法、累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法

学会把所求数列通过变形转化为等差或等比数列

理解广义的等差数列和广义的等比数列的概念

教学重难点：

定义法、公式法、累加法、累乘法及待定系数法

对所求数列变形，并应用正确方法求解

判断变形后的数列是等差还是等比数列，然后进行归纳整理

知识梳理

等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d＝eq\f(?a1＋an?n,2).

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.

(2)前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1；,\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))

3.常见的广义的等差或等比数列基本形式

----------这是广义的等差数列，常用累加法求解。

----------这是广义的等比数列，常用累乘法求解。

典例分析

定义法：

等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1：等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

解：设数列公差为

∵成等比数列，∴，

即

∵，∴………………①

∵∴…………②

由①②得：，

∴

练1：已知数列试写出其一个通项公式：__________

总结：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

公式法

已知（即）求，用作差法：。

例2：已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。

解：由

当时，有

……，

经验证也满足上式，所以

练2:

①已知的前项和满足，求；

②数列满足，求；

总结：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．

作商法

已知求，用作商法：。

例3.数列中，对所有的都有，则______；

累加法

适用于：----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

。

例4:已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则

所以数列的通项公式为。

例5:已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一：

由得

所以

解法二：

两边除以，得，

则，故

因此，

则

练4:已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.

答案：

练5:已知数列满足，，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和

方法总结：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.

=1\*GB3①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

=2\*GB3②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

=3\*GB3③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

=4\*GB3④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

累乘法

适用于：----------这是广义的等比数列，若，则，两边分别相乘得，

例6:设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.

解：已知等式可化为：

()(n+1),即

时，

==.、

练6:已知数列满足，，求。

解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

总结：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.

待定系数法适用于

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

形如,其中)型

例7:已知数列中，，求数列的通项公式。

解法一：

又是首项为2，公比为2的等比数列

，即

解法二：

两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……

练7:已知数列中，求通项。

答案：

形如：(其中q是常数，且n0,1)

=1\*GB3①若p=1时，即：，累加即可.

=2\*GB3②若时，即：，

求通项方法有以下三种方向：

=1\*romani.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列

即：,令，则,然后类型1，累加求通项.

=2\*romanii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。

即：,

令,则可化为.然后转化为类型5来解，

=3\*romaniii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列

设