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学科培优数学

圆与扇形

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知识定位

本讲主要介绍与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题。学校里已讲过基本的圆和扇形周长以及面积的计算公式,这里主要介绍对对象进行适当的移动、拼割、分部以简化运算为目的的方法.

重点难点

1.复杂图形的化简

2.带入圆周率时的计算准确度

考点

1．熟练运用分割、拼补等手段简化运算

2．结合情景的曲线面积计算

知识梳理

一、圆形的面积与周长

(1)圆的周长（d为直径,r为半径）

(2)圆的面积

【授课批注】

公式很简单,主要是如何化为简单的公式运算。注意到面积公式可表示为周长与半径之积的一半,说明圆的面积计算推导与三角形面积公式有关。

二、扇形的面积与弧长

(1)扇形的弧长

(2)扇形的面积

例题精讲

【试题来源】

【题目】如图,有8个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率取3.1416,那么花瓣图形的面积是多少平方厘米?

【答案】19.1416平方厘米

【解析】

如下图,添上部分辅助线,有花瓣的面积为4个边长为2的小正方形面积加上4个的面积减去4个的面积,即加上个半径为1的圆的面积．

所以花瓣组成的图形的面积为4×2×2+1×1×1716+3.1416=19.1416平方厘米．

【知识点】圆与扇形

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】如图,一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构,其中盘A直径为10厘米,盘B直径为40厘米,盘C直径为20厘米．问：A顺时针方向转动一周时,重物上升多少厘米?(取3.14．)

【答案】3.14厘米

【解析】

A顺时针转一周时,C顺时针转周,同轴的B也顺时针转周,从而绳索被拉动的距离等于B的半个圆周长即×2062.8,这时重物应该上升去×62.8=31.4．

所以重物上升31.4厘米．

【知识点】圆与扇形

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】图为一卷紧绕成的牛皮纸,纸卷直径为20厘米,中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米,问：这卷纸展开后大约有多长?

【答案】7143.5厘米

【解析】

将这卷纸展开后,它的侧面可以近似的看成一个长方形,它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度,而面积就是一个圆环的面积．

因此,纸的长度：

(厘米)

所以,这卷纸展开后大约71.4米．

【知识点】圆与扇形

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】如图,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的,是小圆面积的．如果量得小圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米?

【答案】7.3厘米

【解析】

小圆的面积为,则大小圆相交部分面积为,那么大圆的面积为,而,所以大圆半径为7.5厘米．

【试题来源】

【题目】如图,用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米?

【答案】8平方厘米

【解析】

有小圆直径的3倍为大圆的直径,所以小圆的面积是大圆的,现在剪去7个小圆,它们的面积和为,所以剩下的角料的面积为大圆面积的．

即所余下的边角料的总面积是36×=8平方厘米．

【知识点】圆与扇形

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】图中是一个直径是3厘米的半圆,AB是直径．让A点不动,把整个半圆逆时针转,此时B点移动到C点,如图所示．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?

【答案】4.71平方厘米

【解析】

有图中阴影部分面积等于以AC为直径的半圆,以AC为半径的扇形的面积和减去以AB为直径的半圆面积,所以面积相等．

那么阴影部分的面积等于以AC为半径的扇形的面积,即1.5×3.14=4.71平方厘米．

【知识点】圆与扇形

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?

【答案】8平方厘米

【解析】

方法一：如下图所示

可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形,而这个正方形与图17-12中的正方形形状、大小相同．

每个正方形的面积为(1×1÷2)×4=0.5×4=2平方厘米,所以阴影部分的总面积为2×4=8平方厘米．

方法二：我们可以将图中空白部分分成8个形状相同、面积相等的小图形

其在圆内的位置如下图,有弓形部分面积为圆马等腰直角三角形ABO的面积差,即为.

原题图中的整个图形的面积为四个圆的面积减去公共的4个的面积,即8个的面积,而阴影部分面积又是整个图形面积减去4个的面积,即8个的面积.

那么,原题图中阴影部分面积为4