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学科培优数学

长方体和正方体

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知识定位

本讲内容从我们熟悉的平面扩展到了三维立体空间,教学目标是培养学生的空间想象能力,对于长方体和正方体的表面积和体积的计算我们在学校的课本上都已经学习过,都是相对比较简单的,今天我们一起将这部分内容进行拓展和研究。我们主要研究的对象是复杂的立方体的体积和表面积计算方法。同学生要记住知识是有限的,但想象力是无限的。

重点难点：1．长方体与正方体的表面积和体积的计算公式的理解性记忆与运用

2．构造法的运用

考点：3．结合棱长、表面积的特性等求立体图形的体积

4．水深问题的求解

5．长方体正方体知识点与其他知识点的结合

蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱锥形的底,由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分,所有的锐角为70度32分,这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米,误差极小。丹顶鹤总是成群结队迁飞,而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？??蜘蛛结的“八卦”形网,是既复杂又美丽的八角形几何图案,人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。冬天,猫睡觉时总是把身体抱成一个球形,这其间也有数学,因为球形使身体的表面积最小,从而散发的热量也最少。真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”,它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹,显然是一天“画”一条。奇怪的是,古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们,当时地球一天仅21.9小时,一年不是365天,而是400天。

法国科学家法伯曾做过一个著名的毛毛虫试验。法伯把若干毛毛虫放在一个花盆的边缘上,首尾相连,围成一圈,并在花盆周围不到六英寸的地方撒了一些毛毛虫最爱吃的松针。毛毛虫开始一个跟一个,绕着花盆一圈又一圈地走,一小时过去了,一天过去了,又一天过去了,毛毛虫们还是不停地围绕花盆在转圈,一连走了七天七夜,它们终于因为饥饿和精疲力竭而死去。

毛毛虫的悲剧在于盲从。其实,只要有一只毛毛虫能越雷池一步,打破固有的习惯及跟随的习性,就会逃脱死亡的陷阱。

另一位科学家的实验是在海洋馆里。他用玻璃板把一条具有攻击性的大鲨鱼和另一条小鱼隔开。刚开始,这条大鲨鱼不断撞击玻璃,企图捕食隔壁的小鱼。无奈,玻璃隔板太坚硬,无论怎么发威,玻璃隔板丝毫未损。攻击了一段时间,它便放弃了。于是,科学家便把隔板悄悄地移开。意想不到的是,大鲨鱼再也没有攻击过小鱼。它们都温和地在各自的领域活动,互不侵犯。

其实,很多时候,人和鲨鱼一样。经过一段时间努力而没达到预期效果时,我们便画地为牢,认为这件事自己永远都办不到,却完全忽视自身力量的壮大和外界条件的改变。久而久之,便形成习惯性思维,套在失败的经验中爬不出来,以致失去一次又一次唾手可得的机会,最终一事无成。

知识梳理

一、长方体

若长方体的长、宽、高分别为a、b、c,那么可得：

方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；

长方体的体积：V长方体＝abc．

如右图,长方体共有六个面（每个面都是长方形）,八个顶点,十二条棱。

在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等。

（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等,对应边也相等）．

二、正方体

我们也可以称其为立方体,它是一种特殊的长方体,它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a,那么可得：

正方体的表面积：S正方体=6a2；

正方体的体积：V正方体=a3．

三、常用数学方法

立体几何相关数学方法：

接法：与平面几何中的方法类似,将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算.

视图法：主要适用于求正方体积木塔建图形的表面积计算.以及染色问题或计数问题,从上、前、左（下、后、右）这几个基本视角,分析图形的表面.

片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算,将立体图形沿某个方向切成多片,化立体为平面.

模法：割补法的引申,分析立体图形的展开图,以最适合该立体图形的基本几何图形为模型.再在该图形上进行切割.

例题精讲

【试题来源】

【题目】左下图中共有多少个面？多少条棱？

【答案】8个面,18条棱

【解析】

如右上图所示,可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形。

前、后看各有1个面,左面看有1个面,右面看有2个面,上面看有2个面,下面看有1个面。所以共有1＋1+1+2＋2＋1=8（个）面。前后方向的棱有6条,左右方向的棱有6条,上下方向的棱也