六章七章未改.pptxVIP

1第六章线性空间线性空间的定义和性质线性空间的基与向量坐标上页下页返回

26.1.1n维向量空间§6.1线性空间的定义及其性质定义:n维向量的全体构成的集合Rn称为n维向量空间.以前讲过一维、二维、三维向量，由这些向量的全体构成的集合,分别称为一维、二维、三维向量空间.记为:R={－∞，+∞},R2={α|α=(a1,a2),a1,a2∈R},R3={α|α=(a1,a2,a3),ai∈R,i=1,2,3}上述概念可推广至n维向量.上页下页返回

37)(k+l)α=kα+lα;向量的分配律8)k(lα)=(kl)α.数乘结合律n维向量空间运算规律(α,β,γ∈Rn，k,l,1为数):1)α+β=β+α;交换律2)(α+β)+γ=α+(β+γ);结合律3)存在唯一的零向量0，使α+0=0;4)存在非零负向量β，使α+β=0,(β=-α);5)1·α=α;6)k(α+β)=kα+kβ；数的分配律上页下页返回

46.1.2线性空间的定义与性质定义1:设V是一个非空集合，F为一个数域.如果对任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应,称为α与β的和，记为γ=α+β;又对于任一元素α∈V及任一数k∈F，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为k与α的数量乘积，简称为数乘.记为δ=kα；并且这两种运算满足以下八条运算规律(设α，β，γ∈V；k，l,1∈F):上页下页返回

5(i)α+β=β+α;(ii)(α+β)+γ=α+(β+γ);(iii)存在零元素0∈V，使α+0=α，α∈V;使α+β=0;(iv)对于任何α∈V，存在α的负元素β∈V,(v)1·α=α;(vii)(k+l)α=kα+lα;(viii)k(α+β)=kα+kβ;(vi)k(lα)=(kl)α;则V称为数域F上的线性空间(简称线性空间).上页下页返回

6注:1)F:数域;Q:有理数域;R:实数域;C:复数域.若F是C,则V为复线性空间;若F是R，则V为实线性空间.2)定义1推广了向量空间的概念：向量不一定是有序数组;向量空间中的运算也不一定是有序数组的加法及数乘运算.3)对线性运算封闭并满足以上八条运算规律的集合就是向量空间.上页下页返回

7例1:Rn中的向量对于通常的线性运算构成线性空间.解:设而定义的两向量α与β的加法运算为:对于任何k∈R,并可验证以上所定义的运算满足八条运算规律.∴Rn是R上的线性空间.上页下页返回

8例2:以C[a,b]表示在闭区间[a,b]上连续实函数的全体,它按普通函数的加法和乘数运算构成线性空间.因为若f(t)，g(t)∈C[a,b]，k∈R，解:显然kf(t)及f(t)+g(t)也在[a,b]上连续，故kf∈C[a,b]，f+g∈C[a,b];由于它按普通函数加法和数乘运算，故C[a,b]构成线性空间，这个空间称为闭区间[a,b]上的连续函数空间.显然满足线性运算的八条规律.上页下页返回

9例3:n个有序实数组成的数组的全体，记为对于通常的有序数组的加法和以下定义的乘法:不构成线性空间.证:可以验证，对任一α∈Sn，β∈Sn，有对任一数λ,即Sn对运算是封闭的,但因不满足运算规律(v),即定义的运算不是线性运算，∴Sn不是线性空间.上页下页返回

10注:1)线性空间:①对定义的运算封闭；②定义的运算是线性运算(即满足八条).2)线性空间的验证:①先验证对运算的封闭性；②若所定义的加、数乘运算不是实数间的加、乘运算，则须验证八条规律.上页下页返回

11例4:全体正实数集合，记为R+，在其中定义加法及数乘运算为验证R+对上述运算构成线性空间.先验证对运算的封闭性.证:对加法运算封闭:对任何的有对数乘运算封闭:对任一有再验证以上运算是否满足八条运算规律.上页下页返回

12(i)(ii)(iii)R+中存在零元素1，对任何有(iv)对任何存在负元素使(v)(vi)(vii)(viii)所以R+对所定义的运算构成线性空间.上页下页返回

13性质1:线性空间V中的零元素是惟一的.设01，02是线性空间V的两个零元素，则证:01=01+02=02+