线性代数 课件 赵建红第11--13章 投影变换、 切变变换、 特征值与特征向量.pptx

第十一章投影变换

第十一章主要学习内容投影变换

投影变换通常是指将一个高维空间中的对象投影到一个低维空间中的过程.在投影变换中，高维空间中的每个点都被映射到低维空间中的某个点上，通常是通过将高维空间中的每个点投影到低维空间的一个子空间或平面上来实现的.日晷是一种利用太阳投影的装置，用于测量时间，见图11-1.当太阳光线投射到日晷上时，将三维空间中的指针变成日晷面（二维空间）上的影子，太阳的位置和时间会通过投影的影子来表示，从而实现了时间的测量和记录.

月食和日食是地球、月球和太阳之间的投影现象.当月球或地球经过太阳光线的投影区域时，就会出现月球或地球的投影遮挡了太阳光线，从而形成了月食或日食的现象。当阳光透过树叶时，树叶的轮廓和纹理会投影到地面上，形成美丽的树影.这种投影现象不仅在自然界中常见，也常常被人们用来欣赏和拍摄.本章主要介绍投影变换及其在几何学和线性代数中的应用.投影变换是一种几何变换，用于将一个对象或空间中的点映射到另一个对象或平面上，以产生投影的效果.

投影变换是一种几何变换，它将一个对象或空间中的点映射到另一个对象或平面上，以产生投影的效果.在投影变换中，原始空间中的点被投影到目标平面上，从而形成了投影图像.这种变换常常涉及到点、直线和平面之间的关系，是在日常生活和工程应用中经常遇到的一种现象.第一节投影变换及其矩阵表示

比如，在建筑设计中，投影变换被广泛用于绘制建筑的立面、平面图和透视图.建筑师可以通过投影变换将三维建筑模型投影到二维平面上，以便进行设计、规划和施工.在工程绘图中，投影变换被用于绘制工程零件、机械图和装配图.工程师可以通过投影变换将三维工程模型投影到二维图纸上，以便进行设计和制造.在摄影和摄像中，投影变换被用于捕捉和显示物体的影像.摄影师可以通过摄像机的投影变换将三维场景投影到二维照片或视频中，从而记录和展示物体的形象.通过投影变换，可以实现物体的投影显示、时间的测量和天文现象的观测，为人们的生活和工作提供了重要的帮助和支持第一节投影变换及其矩阵表示

投影变换将一个对象或者空间中的点映射到另一个平面或者曲面上，形成投影，见图11-2.在投影变换中，原始空间中的点被映射到一个投影平面上，通常通过直线或射线的方式，保持了原始空间中的点与其投影之间的位置关系.投影点（像）的位置取决于原像相对于投影平面的位置和投影的方法.常见的投影方式包括平行投影和透视投影。第一节投影变换及其矩阵表示图11-2投影的“正过程”

在平行投影中，所有的投影线都是平行的.物体在投影平面上的大小不会随着物体与投影平面之间的距离而变化，但是不同深度的物体大小关系可能会改变，产生近大远小的效果.平行投影常见于地图制作、工程图、建筑设计等领域.透视投影是一种模拟人眼看到物体的投影方式，投影线不是平行的，而是会汇聚到一个视点.随着物体与观察者之间距离的增加，物体在投影上的大小会逐渐减小，产生了近大远小的透视效果.透视投影常见于绘画、摄影、电影制作和3D图形学中，用于产生更加逼真的图像效果，增强空间感和深度感.第一节投影变换及其矩阵表示

在平行投影中，投影线与投影平面不一定垂直，若投影线与投影平面垂直时，对应的是一种特殊的投影变换，正交投影.因为投影线与投影平面垂直，投影不会因为物体与投影平面之间的距离而发生变化，所以所有的平行线在投影上仍然是平行的，因此不会发生透视效果.正交投影保持了物体在不同深度上的大小关系，没有近大远小的效果.在图形学中，常用于技术绘图、工程图和CAD软件等领域.第一节投影变换及其矩阵表示

?第一节投影变换及其矩阵表示图11-3关于直线的投影

?第一节投影变换及其矩阵表示

?第一节投影变换及其矩阵表示

?第一节投影变换及其矩阵表示?

?第一节投影变换及其矩阵表示?

?第一节投影变换及其矩阵表示

?第一节投影变换及其矩阵表示

?第一节投影变换及其矩阵表示

?第一节投影变换及其矩阵表示

?第一节投影变换及其矩阵表示

投影变换及其矩阵表示回顾与小结

思考题：课后习题A第一题的1、3、6。作业题：课后习题A第2题。复习思考题或作业题

第十二章切变变换

第十一章主要学习内容切变变换

本章主要介绍了线性变换和线性方程组之间的对应关系以及引入了切变变换的概念，讨论了其在实际应用中的作用：在坐标变换和数学物理中的应用.说明了线性变换的矩阵表示和基底变换之间的关系，以及可逆线性变换的性质.在9-11章中，讨论了一些特殊的线性变换，它们的几何性质各不相同，但都可以由矩阵表示.有的保持图形的形状和大小不变，变换前后的图形全等，如旋转、对称和反射.有的虽然改变