第13讲命题与证明-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程(沪科版)(原卷版+解析).docxVIP

第13讲命题与证明

【学习目标】

1.了解命题、定义、公理、定理、证明及推论的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会在简单情况下判断一个命题的真假，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据；

2.理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；

3.能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行演绎证明.

【基础知识】

一、命题、公理、定理、推论

1.命题

判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题．

命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式.

要点诠释：

命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．

2.公理

人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．

3.定理

从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据．

要点诠释：

也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理：

（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.

（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.

4.推论

由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.

二、逆命题和逆定理

互逆命题

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.

互逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.

三、演绎推理

演绎推理

从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理．演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.

要点诠释：

演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可以进行演绎证明．

四、三角形内角和定理

定理：三角形的内角和等于180°.

推论1：直角三角形的两锐角互余.

推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.

推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.

要点诠释：

三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

【考点剖析】

考点一：反证法证明中的假设

．1．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中()

A．有一个内角小于45° B．每一个内角都小于45°

C．有一个内角大于等于45° D．每一个内角都大于等于45°

考点二：判断是否是命题

．2．下面对一些数学术语定义的描述正确的是（）

A．正整数和负整数统称整数 B．含有未知数的式子叫做方程

C．不相交的两条直线叫做平行线 D．三条边都相等的三角形叫做等边三角形

考点三：逻辑推理与论证

3．下列结论推理合理的是（）

A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等

B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题

C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好

D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多

【真题演练】

1．下列语句属于命题的是（）

A．两点之间，线段最短吗 B．连接M，N两点

C．辽阔的草原 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线

2．下列结论，你能肯定的是（）

A．今天是阴天，明天必然还是阴天

B．三个连续整数的积一定能被6整除

C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖

D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的

3．下列命题能够称为公理的是（）

A．同角的补角相等 B．两点确定一条直线

C．邻角的平分线互相垂直 D．内错角相等，两直线平行

4．下列命题中真命题的个数是()

①三角形的两边之和大于第三边；②同类项的系数必相同；③若a与b互为倒数，则ab＝1，④绝对值等于本身的数是正数．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．下列语句中，属于命题的是()

A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗

C．平行四边形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形

6．“两点确定一条直线”这句话是（）

A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义

7．下列句子中是命题的是()

A．画∠A＝30° B．您好！ C．对顶角不等