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高中数学精编资源
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《空间向量运算的坐标表示》同步学案
情境导入
1.平面直角坐标系中的坐标运算能推广到空间直角坐标系中去吗?
2.你能根据平面直角坐标系中两点间的距离公式|AB|=x1-
自主学习
自学导引
1.空间向量运算的坐标表示
设a=a
(1)a+
(2)a-
(3)λa=_________,
(4)a?
2.空间向量的平行与垂直
设a=a
当b≠0时,a//b?
3.空间向量的模
设a=a1a
4.空间向量的夹角公式
设a=a1a
5.空间两点间的距离公式
设P1
则P1
所以P1
预习测评
1.已知向量a=-325,b=1
A.3
B.4
C.5
D.6
2.已知点A-423关于Ozx平面的对称点为A1,点A1关于z轴的对称点为点
A.8
B.12
C.16
D.19
3.在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是()
A.向量AB的坐标与点A的坐标相同
B.向量AB的坐标与点B的坐标相同
C.向量AB与向量OB的坐标相同
D.向量AB与向量OB-
4.在空间直角坐标系中,已知点A102,B1-31,点M在y轴上,且点M到点A与到点
新知探究
探究点1空间向量运算的坐标表示
知识详解
设a=a
(1)a+
(2)a-
(3)λa
(4)a?
特别提示
1.空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.
例如,一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.在确定了向量的坐标后,就可以用空间向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算了,还要熟练应用下列有关的乘法公式:(1)a+b2
典例探究
例1已知空间四点A,B,C,D的坐标分别是(-1,2,1),134,0-1
(1)p+2
(2)3p
(3)p-
(4)cosp
变式训练1已知a=2
(1)a+b;(2)a-b;(3)
(5)(a
探究点2利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
知识详解
1.设a=a
当b≠0时
;a
2.平行与垂直问题主要有两种题型:(1)平行与垂直的判断;(2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.
解题时要注意:(1)适当引入求参数(比如向量a,b平行,可设a=λb,λ∈R),
典例探究
例2已知空间中三点A-202,B-11
(1)若|c|=3,且c//BC
(2)若ka+b与ka-2b
(3)若λa+b+μa-b与
变式训练2已知a=
(1)若a//b,求实数λ与m
(2)若|a|=5,且与c=2
探究点3利用空间向量运算的坐标表示求夹角与距离
知识详解
1.利用空间向量运算的坐标表示求向量夹角和空间两点间的距离.
(1)利用|a|=a
(2)利用cosa?b
(3)利用P1P2
2.注意异面直线所成的角与向量的夹角不一致,它们可能相等,也可能互补.
典例探究
例3在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=2,AB=3,A
(1)求直线AO1与B
(2)作O1D?AC于D,求点O1到点
变式训练3如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D
(1)求证:EF?CF;
(2)求EF与GC所成角的余弦值;
(3)求CE的长.
易错易混解读
例在ΔABC中,已知AB=240,BC
课堂检测
1.已知向量a=4-2
A.a
B.a
C.a
D.|
2.已知a=1-2
A.2
B.-2
C.-2
D.2
3.与向量a=1
A.1
B.1
C.-1
D.1
4.已知a=-2-13,b
课堂小结
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