浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（含答案）.docxVIP

2024学年第一学期浙江省名校协作体试题

高三年级数学学科

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟：

2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷

选择题部分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合,则（）

A． C． D．

2．已知复数满足，则（）

A．1 B．2 C． D．

3．已知等比数列的前2项和为12，,则公比的值为（）

A． B．2 C． D．3

4．已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）

A． B． C． D．

5．已知函数满足最小正周期为，函数，则将的图象向左平移（）个单位长度后可以得到的图象

A． B． C． D．

6．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）

A． B． C． D．

7．已知是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，直线分别交椭圆于两点，若直线过椭圆的焦点，则线段的长度为（）

A． B．3 C． D．

8．正三棱台中，，点为棱中点，直线为平面内的一条动直线．记二面角的平面角为，则的最小值为（）

A．0 B． C． D．

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是（）

A．已知随机变量服从正态分布越小，表示随机变量分布越集中

B．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9

C．线性回归分析中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越弱

D．已知随机变量则

10．设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则（）

A． B．

C． D．

11．已知正项数列满足记，．则（）

A．是递减数列 B．

C．存在使得 D．

非选择题部分

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．

12．的展开式中，常数项为______．

13．已知正实数满足，则的取值范围是______．

14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为______．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15．（13分）已知在中，角所对的边分别为，且满足，

（1）求角的值；

（2）若的面积为，求的周长。

16．（15分）已知三棱锥满足，且．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值，

17．（15分）已知函数．

（1）判断函数的零点个数，并说明理由；

（2）求曲线与的所有公切线方程。

18．（17分）如图，已知抛物线的焦点为，过点作一条不经过的直线，若直线与抛物线交于异于原点的两点，点在轴下方，且在线段上．

（1）试判断：直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

（2）过点作的垂线交直线于点，若的面积为4，求点的坐标，

19．（17分）对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．

（1）写出集合的一个“有趣的”四元子集：

（2）证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：

（3）证明：对任意正整数，集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．

高三数学参考答案

1—5BCACA 6—8CBD

9．AD 10．BCD 11．ABD

12．3

13．

14．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．【解析】（1）由题意得：，

即：

因此，

因为，因此为锐角，因此

（2）由余弦定理：，得：

可得：，因此，为等腰直角三角形

得：

因此，的周长为

16．【解析】（1）

即：

取中点，连接，则，且

面

（2）解法一：由（1）知，面面面

作，垂足为

面面，且面

面

中

记点到平面的距离为与平面所成角为，则

由得：

因此，

解法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系

由（1）可知

中，

设的法向量

由得：取

记与平面所成角为．则．

（如有其它解法，酌情给分）

17．【解析】（1），在单调递增

又，存在唯零点，在之间．

（