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平面向量知识点总结(精华)

一、向量的基本概念

1.向量的定义

向量是既有大小又有方向的量。例如，物理学中的力、位移等都是向量。我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：

几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。

字母表示：用小写字母a、b、c等表示。

2.向量的模

向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。

3.零向量

长度为\(0的向量称为零向量，记作0。零向量的方向是任意的。

4.单位向量

模等于\(1的向量称为单位向量。对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。例如，向量a=(3,4)，则a=5，同方向的单位向量e=(35,45)。

5.平行向量（共线向量）

方向相同或相反的非零向量称为平行向量。规定：零向量与任意向量平行。若向量a与b平行，记作a。例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b=2a，所以a。

6.相等向量

长度相等且方向相同的向量称为相等向量。若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。

二、向量的运算

1.向量的加法

三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。

平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a。

结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。

2.向量的减法

相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a的相反向量，记作a。

向量减法的定义：ab=a+(b)。其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。

3.向量的数乘

定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。

当\(0时，a与a方向相同，a=a；当\(=0时，a=0；当\(0时，a与a方向相反，a=a。

向量数乘的运算律：

结合律：\((a)=()a。

分配律：\((+)a=a+a，\((a+b)=a+b。

三、向量的坐标表示

1.平面向量基本定理

如果e_1、e_2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数\(_1、\(_2，使a=_1e_1+_2e_2。其中e_1、e_2称为一组基底。

2.向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与\(x轴、\(y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数\(x、\(y，使得a=xi+yj，则\((x,y)称为向量a的坐标，记作a=(x,y)。

若\(A(x_1,y_1)，\(B(x_2,y_2)，则AB=(x_2x_1,y_2y_1)。

3.向量坐标运算

设a=(x_1,y_1)，b=(x_2,y_2)。

向量加法：a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2)。

向量减法：ab=(x_1x_2,y_1y_2)。

向量数乘：a=(x_1,y_1)。

四、向量的数量积

1.向量数量积的定义

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为\((0\pi)，则ab=ab。

规定：零向量与任一向量的数量积为\(0。

2.向量数量积的几何意义

ab等于a与b在a方向上的投影b的乘积（当a0时），也等于b与a在b方向上的投影a的乘积（当b0时）。

3.向量数量积的运算律

交换律：ab=ba。

分配律：a(b+c)=ab+ac。

数乘结合律：\((a)b=(ab)=a(b)（\(\inR）。

4.向量数量积的坐标表示

设a=(x_1,y_1)，b=(x_2,y_2)，则ab=x_1x_2+y_1y_2。

向量的模与数量积的关系：若a=(x,y)，则a^2=aa=x^2+y^2。

向量的夹角公式：设a=(x_1,y_1)，b=(x_2,y_2)，则\(\cos=abab=x_1x_2+y_1y_2x_1^2+y_1^2x_2^2+y_2^2。

五、向量的应用

1.向量在几何中的应用

证明线段平行、垂直等关系。

若a，则存在实数\(，使a=b，可用于证明两直线平行。

若ab=0，则a\p