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平面向量知识点总结归纳

一、向量的基本概念

1.向量的定义

既有大小又有方向的量叫做向量。例如，物理学中的力、位移、速度等都是向量。向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的大小叫做向量的模，记作a（对于向量a）。模为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。模为1的向量叫做单位向量。

2.向量的表示方法

几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。例如，以A为起点，B为终点的向量记作AB。

字母表示：用小写字母a,b,c,表示向量。

3.相等向量与平行向量

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若a=b，则a=b且a与b方向相同。例如，在平行四边形ABCD中，AB=DC。

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。规定零向量与任意向量平行。若a与b是平行向量，则记作ab。例如，在梯形ABCD中，ADBC。

二、向量的运算

1.向量的加法

三角形法则

已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC=a+b。

例如，若a表示向东3个单位长度的位移，b表示向北4个单位长度的位移，那么a+b表示向东北方向5个单位长度（根据勾股定理3^2+4^2=5）的位移。

平行四边形法则

已知两个不共线向量a,b，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC=a+b。

运算律：向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)。

2.向量的减法

定义：向量a与b的差ab=a+(b)，其中b是b的相反向量，b与b大小相等，方向相反。

三角形法则：已知向量a,b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则向量BA=ab。

3.向量的数乘

定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度a=a，它的方向当0时与a相同，当0时与a相反，当=0时，a=0。

运算律：数乘向量满足结合律()=()a，分配律(+)a=a+，(a+b)=a+b。

向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b=a。例如，若a=(1,2)，b=(2,4)，则b=2a，所以a与b共线。

三、平面向量的坐标表示

1.向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底。对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj，则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。

例如，若a=3i+4j，则a=(3,4)。

2.向量的坐标运算

若a=(x_1,y_1)，b=(x_2,y_2)，则a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2)，ab=(x_1x_2,y_1y_2)，a=(x_1,y_1)。

向量的模长公式：若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。例如，若a=(3,4)，则a=3^2+(4)^2=5。

两点间的向量坐标：设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则AB=(x_2x_1,y_2y_1)。

四、平面向量的数量积

1.数量积的定义

已知两个非零向量a,b，它们的夹角为(0\leqslant\leqslant\pi)，则向量a与b的数量积（内积）a*b=ab\cos。

规定0*a=0。例如，若a=3，b=4，=\pi3，则a*b=3\times4\times12=6。

2.数量积的运算律

交换律：a*b=b*a。

分配律：a*(b+c)=a*b+a*c。

数乘结合律：(a)*b=(a*b)=a*(b)。

3.数量积的坐标表示

若a=(x_1,y_1)，b=(x_2,y_2)，则a*b=x_1x_2+y_1y_2。

向量的夹角公式：设a,b是非零向量，a=(x_1,y_1)，b=(x_2,y_2)，则\cos=a*bab=x_1x_2+y_1y_2x_1^2+y_1^2x_2^2+y_2^2。

向量垂直的充要条件：a\perpba*b=0x_1x_2+y_1y_2=0。例如，若a=(1,2)，b=(2,1)，因为1\times2+2\times(1)=0，所以a\perpb。

五、平面向量的应用

1.向量在几何中的应用

证明几何问题：例如，利用向量共线定理和平行四边形法则等证明平行四边形、梯形等几何图形的性质。在平行四边形ABCD中，AB=DC可以证明AB与DC平行且相等。