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2023届西安市高三第五次模拟考数学试题试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列中,,且当为奇数时,;当为偶数时,.则此数列的前项的和为()
A. B. C. D.
2.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为()
A. B. C. D.
3.已知双曲线:的左右焦点分别为,,为双曲线上一点,为双曲线C渐近线上一点,,均位于第一象限,且,,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
4.函数的最小正周期是,则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是()
A. B. C. D.
5.在等差数列中,,,若(),则数列的最大值是()
A. B.
C.1 D.3
6.若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是()
A.函数在上单调递增 B.函数的周期是
C.函数的图象关于点对称 D.函数在上最大值是1
7.已知集合,,则等于()
A. B. C. D.
8.已知命题,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
9.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”,该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台,塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比,第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”,若两展望台间高度差为100米,则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是()
A.400米 B.480米
C.520米 D.600米
10.定义,已知函数,,则函数的最小值为()
A. B. C. D.
11.已知实数,则的大小关系是()
A. B. C. D.
12.设x、y、z是空间中不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面;③z是直线,x、y是平面;④x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是()
A.③④ B.①③ C.②③ D.①②
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.不等式的解集为________
14.如图,四面体的一条棱长为,其余棱长均为1,记四面体的体积为,则函数的单调增区间是____;最大值为____.
15.已知,则__________.
16.设实数,若函数的最大值为,则实数的最大值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)椭圆:()的离心率为,它的四个顶点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是直线上任意一点,过点作圆的两条切线,切点分别为,,求证:直线恒过一个定点.
18.(12分)已知函数
(1)若,求证:
(2)若,恒有,求实数的取值范围.
19.(12分)已知函数,.
(1)若不等式对恒成立,求的最小值;
(2)证明:.
(3)设方程的实根为.令若存在,,,使得,证明:.
20.(12分)如图,已知在三棱台中,,,.
(1)求证:;
(2)过的平面分别交,于点,,且分割三棱台所得两部分几何体的体积比为,几何体为棱柱,求的长.
提示:台体的体积公式(,分别为棱台的上、下底面面积,为棱台的高).
21.(12分)在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数,).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(l)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程:
(2)若直线与曲线C相交于A,B两点,且.求直线的方程.
22.(10分)对于非负整数集合(非空),若对任意,或者,或者,则称为一个好集合.以下记为的元素个数.
(1)给出所有的元素均小于的好集合.(给出结论即可)
(2)求出所有满足的好集合.(同时说明理由)
(3)若好集合满足,求证:中存在元素,使得中所有元素均为的整数倍.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
根据分组求和法,利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和,利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和,进而可求解.
【详解】
当为奇数时,,
则数列奇数项是以为首项,以为公差的等差数列,
当为偶数时,,
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