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1.2复数的几何意义
必备知识基础练
1.(多选)给出下列复平面内的点,这些点中对应的复数为虚数的是()
A.(3,1) B.(-2,0)
C.(0,4) D.(-1,-5)
2.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应的点Z的集合对应的图形为()
A.一个圆 B.一条线段
C.两点 D.两个圆
3.(多选)设复数z满足z=-1-2i,i为虚数单位,则下列说法正确的是()
A.|z|=5
B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.z的共轭复数为-1+2i
D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上
4.已知0a3,复数z的实部为a,虚部为2,则|z|的取值范围是.?
5.复数4+3i与-2-5i分别表示向量OA与OB,则向量AB表示的复数是,其共轭复数是
关键能力提升练
6.在复平面内,把复数3-3i对应的向量按顺时针方向旋转π3
A.23 B.-23i
C.3-3i D.3+3i
7.(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,则下列说法正确的是()
A.z不可能为纯虚数
B.若z的共轭复数为z,且z=z,则z是实数
C.若z=|z|,则z是实数
D.|z|可以等于1
8.定义:复数b+ai是复数a+bi(a,b∈R)的转置复数,已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2i=1-bi,则复数z=a+bi的转置复数是.?
9.已知复数z在复平面内对应的向量为OZ(O为坐标原点),OZ与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2,求复数z.
10.设z=x+yi(x,y∈R),若1≤|z|≤2,判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形,并求其面积.
学科素养创新练
11.已知复数z1=1+cosθ+isinθ,z2=1-sinθ+icosθ,且两复数的模的平方和不小于2,求θ的取值范围.
答案
1.ACD易知选项A,B,C,D中的点对应的复数分别为3+i,-2,4i,-1-5i,因此A,C,D中的点对应的复数为虚数,B中的点对应的复数为实数.故选ACD.
2.A∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,
∴|z|=3,∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心,3为半径的一个圆.故选A.
3.AC|z|=(-1
4.(2,13)由题意可知z=a+2i.根据复数的模的定义,得|z|=a2+4.而0a3,故2|z|
5.-6-8i-6+8i由题得OA=(4,3),OB=(-2,-5).又AB=OB-
6.B复数3-3i对应的点为(3,-3),对应的向量按顺时针方向旋转π3,则对应的点为(0,-23),所得向量对应的复数为-23
7.BC当a=0,b=1时,此时z=i为纯虚数,A错误;
若z的共轭复数为z,且z=z,则a+bi=a-bi,因此b=0,B正确;
由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;
由|z|=12可得a2+b2=14,又a+b=1,因此8a
即|z|不可以等于12
故选BC.
8.-2+i由a+2i=1-bi,得a=1,b=-2,所以复数z=a+bi=1-2i,故复数z=1-2i的转置复数是-2+i.
9.解根据题意可在复平面作图如图所示,设点Z的坐标为(a,b),
因为|OZ|=|z|=2,∠xOZ=120°,
所以a=-1,b=3,
即点Z的坐标为(-1,3),
所以z=-1+3i.
10.解|w|=(x+y
而1≤|z|≤2,
故2≤|w|≤2,
所以w对应点的集合是以原点为圆心,2和2为半径的圆所夹圆环(含内外圆周),其面积S=π[22-(2)2]=2π.
11.解由已知得,
|z1|2=(1+cosθ)2+sin2θ=2+2cosθ,
|z2|2=(1-sinθ)2+cos2θ=2-2sinθ.
因为|z1|2+|z2|2≥2,
即2+2cosθ+2-2sinθ≥2,cosθ-sinθ≥-1,
所以cosθ+π4≥-22,
所以2kπ-3π4≤θ+π4≤2kπ+3π4
所以2kπ-π≤θ≤2kπ+π2,k∈
所以θ的取值范围是2kπ-π,2kπ+π2,k∈Z.
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