数学-课堂探究：合情推理与演绎推理（第课时）.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂探究

探究一数(式)中的归纳推理

1．根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳,要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律,然后用含有字母的等式表示一般性结论．

2．解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n取具体值1,2，3，4，…,然后求得a1，a2，a3，a4，…的值或S1，S2，S3，S4，…的值,根据这些结果进行归纳得到结果．

【典型例题1】由下列各式：

13＝12，

13＋23＝32,

13＋23＋33＝62，

13＋23＋33＋43＝102，

请你归纳出一般结论．

思路分析：观察式子的结构特征，及左右底数的变化得出结论．

解：左边各项幂的底数→右边各项幂的底数

1→1,

1,2→3,

1，2,3→6，

1,2,3，4→10,

由左、右两边各项幂的底数之间的关系：

1＝1,

1＋2＝3，

1＋2＋3＝6，

1＋2＋3＋4＝10，

可得一般性结论：

13＋23＋33＋…＋n3＝（1＋2＋3＋…＋n）2,

即13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n（n＋1），2）））2。

【典型例题2】若数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,(n＋1）2)（n∈N*)，记f（n)＝（1－a1）(1－a2）…（1－an)，则通过计算f（1)，f（2）,f（3)的值，可推测出f(n)为()

A．eq\f（n＋2,n＋3）B．eq\f(n＋2,2n＋2)

C．eq\f（n＋2，2n＋1)D．eq\f(n,2n＋1）

解析：∵an＝eq\f(1，（n＋1)2),

∴a1＝eq\f（1,4），a2＝eq\f（1，9）,a4＝eq\f（1,16）.

∴f(1）＝1－a1＝eq\f(3,4),

f（2）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（1,4)））eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1,9））)＝eq\f（4,6)，

f（3)＝eq\f(3，4)×eq\f（8，9）×eq\f（15，16)＝eq\f（5，8)。

∴推测f（n)＝eq\f（n＋2，2n＋2)。

答案:B

探究二几何中的归纳推理

在几何中随点、线、面等元素的增加,探究相应的线段、交点、区域等部分的增加情况常用归纳推理思想解决，解决该类问题的关键是寻求递推关系．

【典型例题3】用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼图需要火柴棒的根数为__________．

思路分析：观察图中形状的改变和数量的改变，找出规律．

解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1＝8＝6＋2。

又a2＝14＝6×2＋2，a3＝20＝6×3＋2，…

所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2。

答案：6n＋2

反思图形中的数列问题也是一类考查归纳推理的热点问题，归纳的途径有两条：一是按每个图形中单位图形(要考查的几何元素，如本题中的线段）的数目来归纳；二是按图形变化的特点来归纳．

探究三类比推理的应用

1．类比推理的步骤:

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；

（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)．

2．数学中常见的类比

在数学中，常见的类比有：直线与平面的类比,平面与空间的类比，数与式的类比，方程与不等式的类比，数与形的类比，一元与多元的类比，有限与无限的类比，四则运算间的类比等．

【典型例题4】如图（1）所示，在三棱锥S－ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC，SA⊥SC，且SA,SB，SC与底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3,三侧面△SBC,△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出三棱锥的一个猜想．

思路分析:根据平面几何中三角形的有关性质，利用类比的方法,推广到三棱锥中．

解：如图(2)所示，在△DEF中，由正弦定理，得

eq\f（d，sinD）＝eq\f（e,sinE）＝eq\f（f,sinF)。

类比三角形中的正弦定理，在三棱锥S－ABC中，猜想eq\f（S1，sinα1）＝eq\f（S2，sinα2）＝eq\f（S3,sinα3)。

探究四易错辨析

易错点：使用类比推理忽略了类比的前提而导致出错

【典型例题5】判断下列推理是否正确．

(1）把a(b＋c)与loga(x＋y）类比，则有loga（x＋y）＝logax＋lo