数学-课堂探究：直接证明与间接证明（第课时）.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂探究

探究一综合法的应用

综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题）出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．

【典型例题1】已知a,b，c是正数，且a＋b＋c＝1，求证:eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，a）－1）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b）－1))eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,c）－1))≥8.

思路分析:利用“1”的代换进行转化，利用基本不等式证明．

证明：∵a,b,c为正数,a＋b＋c＝1，

∴eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a）＝eq\f（b＋c，a）≥eq\f(2\r（bc），a）＞0，

eq\f(1，b)－1＝eq\f（1－b,b)＝eq\f(a＋c，b)≥eq\f(2\r（ac)，b)＞0,

eq\f(1,c）－1＝eq\f（1－c，c）＝eq\f(a＋b,c）≥eq\f（2\r（ab),c）＞0,

以上三式对应相乘得eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，a)－1）)·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,b）－1））·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，c)－1）)≥8×eq\f(\r(bc)，a）×eq\f(\r（ac),b）×eq\f(\r（ab）,c）＝8.

当且仅当a＝b＝c时取等号．

∴原不等式成立．

反思综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：

①a2≥0（a∈R)．

②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab,eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a＋b,2）））2≥ab，a2＋b2≥eq\f（(a＋b)2,2).

③若a，b∈（0，＋∞），则eq\f(a＋b,2）≥eq\r（ab)，特别是eq\f(b,a）＋eq\f（a,b)≥2.

【典型例题2】如图，在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点．

(1）证明:CD⊥AE；

(2）证明:PD⊥平面ABE。

思路分析：解答本题可先明确线线、线面垂直的判定定理及性质定理,再用定理进行证明．

证明：（1)在四棱锥P－ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，

∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A,∴CD⊥平面PAC．

又∵AE?平面PAC，∴CD⊥AE.

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．

∵E是PC的中点,∴AE⊥PC．

由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD．

又∵PD?平面PCD,∴AE⊥PD．

∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．

又AB⊥AD,平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴AB⊥PD．

又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE。

探究二分析法的应用

分析法是一种从未知到已知(从结论到题设)的证明方法，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的判断，而当这个判断恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时,命题得证(应强调的一点,它不是由命题的结论去证明前提条件）．因此，分析法是一种执果索因的证明方法，也是数学证明常用的手段．

【典型例题3】已知a＞6，求证：eq\r（a－3)－eq\r（a－4）＜eq\r（a－5)－eq\r（a－6）。

思路分析:从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件．

证明：要证eq\r（a－3)－eq\r(a－4）＜eq\r(a－5）－eq\r（a－6），

只需证eq\r（a－3)＋eq\r（a－6）＜eq\r（a－5）＋eq\r(a－4)

（eq\r(a－3）＋eq\r（a－6)）2＜(eq\r(a－5)＋eq\r(a－4)）2

2a－9＋2eq\r（(a－3)（a－6)）＜2a－9＋2eq\r（（a－5）(a－4）)

eq\r（(a－3)(a－6))＜eq\r（（a－5)（a－4)）

（a－3)（a－6）＜(a－5）(a－4)

18＜20，

因为18＜20显然成立，

所以原