数学例题与探究：5向量的应用.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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典题精讲

例1ABCD是正方形,BE∥AC，AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F，求证:AF=AE.

思路分析：建立适当的坐标系，根据坐标运算求出，的坐标,进而证明AF=AE。

证明：如图2—5-1,建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A(—1，1)，B(0,1）。设E(x,y),则

图2-5—1

=（x,y—1)，=(1,-1)。

∵∥,

∴x·（—1）-1·（y-1)=0.

∴x+y—1=0.

又∵||=｜|,∴x2+y2-2=0。

由x2+y2-2=0

即E().

设F（m，1)，由=(m，1)和=(）共线,得m-=0。

解得m=—2-.∴F（—2—,1），=（-1-，0)，=(）,

∴｜|==1+=｜|，

∴AF=AE.

绿色通道：把几何问题放入适当的坐标系中就赋予了有关点及向量的坐标，从而进行相关运算,使问题得到解决.

变式训练已知△ABC中,A(7,8),B(3,5)，C(4，3）,M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点，MN与AD交于F，求。

思路分析：由已知条件可求出、的坐标,然后再由中点坐标公式进一步求出，进而再求出.

解:∵A（7，8)，B（3,5），C(4，3),

∴=（3-7，5-8）=（-4，—3),=(4—7,3-8）=(-3，—5）。

又∵D是BC的中点，

∴=（+)=（-3。5，—4）。又M、N分别是AB、AC的中点，∴F为AD的中点.∴=-=(1。75,2）。

例2一条河的两岸平行，河的宽度为d=500m，如图2-5-2所示，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为｜v1|=10km/h，水流速度为|v2|=4km/h。

图2-5—2

(1)试求v1与v2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0。1min）；

(2）要使船到达对岸所用时间最少,v1与v2的夹角应为多少？

思路分析：船（相对于河岸）的航行路线不能与河岸垂直。原因是船的实际航行速度是船本身（相对于河水)的速度与河水的流速的合速度.

解:(1)依题意，要使船到达对岸,就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以

|v|==≈9。2km/h，

v1与v的夹角α满足sinα==0.92,又α为钝角，故v1与v2的夹角θ=114°;船垂直到达对岸所用的时间t=×60≈3。3min.

(2）设v1与v2的夹角为θ（如图2—5-3），

图2-5-3

v1与v2在竖直方向上的分速度的和为|v1｜·sinθ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d=0.5km,从而所用的时间为t=，显然，当θ=90°时，t最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，t==0。05h=3min.

绿色通道：解决此类问题的关键在于明确“水速+船速=船的实际速度”，注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向.结合向量应用的具体问题,在理解向量知识和应用两方面下功夫,将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.

变式训练如图2—5—4，一物体受到两个大小均为60N的力的作用,两力夹角为60°且有一力方向水平,求合力的大小及方向.

图2—5—4

解：设、分别表示两力，以OA、OB为邻边作OACB,则就是合力.据题意,△OAC为等腰三角形且∠COA=30°，过A作AD⊥OC垂足为D，则在Rt△OAD中｜｜=||·cos30°=60×=,故|｜=2｜|=.所以合力的大小为N，方向与水平方向成30°角。

例3(2006四川高考卷，理7)如图2—5—5，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（）

图2—5—5

A.；B。;

C.；D..

思路解析：设边长｜P1P2｜=a，则∠P2P1P3=。

｜P1P3|=a，=a·a·，

∠P2P1P4=，｜P1P4|=2a，=a·2a·=a2，=0,〈0,∴数量积中最大的是。

答案：A

黑色陷阱：本题易因找错向量的夹角如误认为∠P2P1P3=，或数量积公式用错而出现错误.

变式训练如图2—5-6，设四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P是⊙O上的任一点,求证：||2+||2+｜|2+|｜2与P点的位置无关。

图2-5—6

思路分析：根据向量的三角形法则表示出、、、,从而判断出|｜2+||2+｜｜2+｜｜2为定值。

解：设圆的半径为r。

∵=-,=-,=—，=-,则

|｜2=（—)2=2-2·+2=2r2—2·，

||2=2r2-2·，

｜｜2=2r2—2·，

｜|