数学例题与探究：6三角函数模型的简单应用.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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典题精讲

例1初速度为v0，发射角为θ,则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式（t是飞行时间)为（）

A。y=｜v0t|B。y=|v0|·sinθ·t

C.y=｜v0｜·sinθ·t-g·t2D.y=|v0｜·cosθ·t

思路解析：本题是与物理相结合的题目，由速度的分解可知炮弹上升的速度为v0·sinθ，如图1-6—1所示：

图1—6-1

故炮弹上升的高度为h=|v0|·sinθ·t—gt2ωφ.

答案：C

绿色通道：跨学科的题目要注意知识间的内在联系，找出问题的本质转化为数学问题。同时也要注意物理里面公式的正确使用，以及对问题的准确分析。

变式训练一根长l厘米的线，一端固定,另一端悬挂一个小球.小球摆动时，离开平衡位置的位移s(厘米）和t（秒）的函数关系是s=3cos(）,其中g是重力加速度，要使小球摆动的周期是1秒，则l等于（）

A.B。C.D。

思路解析：因为周期1=，所以=2π，平方得l=。

答案：D

例2在200米高山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）

A。米B.米C。米D.米

思路解析：如图1—6-2，设塔高为h米，则

200tcos30°=(200—h)tan60°，∴h=米.

图1-6-2

答案：A

绿色通道：随着对“加强应用性”要求的不断提高，与三角函数有关的应用性问题受到越来越多的重视。实际问题转化为数学问题时要注意数形结合,利用三角函数列出相等或者不等关系。

变式训练一个大风车的半径为8m，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2m（如图1-6-3所示)，则风车翼片的一个端点离地面距离h（米）与时间t（分钟)之间的函数关系(用弧度制求解）为____________。

图1—6-3

思路解析:首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，如图1-6—4建立直角坐标系.

图1-6—4

那么，风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t)、y（t)来刻画,而且h(t)=y(t)+2.

所以，只需要考虑y（t）的表达式.又设P的初始位置在最低点即y(0）=0。

在Rt△O1PQ中，cosθ=，y(t）=—8cosθ+8.

而=，所以θ=t,y(t)=—8cost+8,h(t)=-8cost+10.

答案：h(t）=-8cost+10

例3某港口水深y（米)是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数,下表是水深数据：

t(时）

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y(米)

10。0

13。0

9.9

7.0

10。0

13.0

10.1

7.0

10.0

据上述数据描成的曲线如图1—6-5所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+B的图象。

图1-6—5

（1)试根据数据表和曲线，求出y=Asinωt+B的表达式;

（2）一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所用的时间）？

思路分析：(1）从拟合曲线可知，函数y=Asinωt+B的周期；由t=0时的函数值和t=3时函数取得最大值,进而可求得ω、A、B的值,即得函数的表达式。

(2）根据(1）中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5+7=11.5（米）的时段，从而就可以求出题中的两问.

解：（1）从拟合的曲线可知，函数y=Asinωt+B在一个周期内由最大变为最小需要9—3=6小时,此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此=12,ω=。

又当t=0时,y=10；当t=3时，ymax=13。

∴b=10，A=13—10=3.

于是所求函数解析式为y=3sint+10.

（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米,故在船舶航行时水深y应大于等于7+4。5=11.5(米）.令y=2sin+10≥11.5，可得sint≥.

∴2kπ+≤t≤2kπ+（k∈Z)。

∴12k+1≤t≤12k+5(k∈Z)。

取k=0,则1≤t≤5;取k=1,则13≤t≤17;

而取k=2时,则25≤t≤29（不合题意）.

所以,船只可以安全进港的时间为上午的1—5点和下午的1—5点;船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以)进港，而下午