偏微分方程数值解期末试题及参考答案.pdfVIP

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偏微分方程数值解期末试题及参考

答案

Ａ卷2005—2006学

年第2学期《偏微分方程数值解》试卷

参考答案与评分标准专业班

级信息与计算科学开课系

室考试日期命

题教师王子亭题号一

二三四五六七八总分得分

阅卷人偏微分方程数值解试题

(06A)参考答案与评分标准

信息与计算科学专业1一、设矩阵

A对称正定，定义

J(x)?(Ax,x)?(b,x)(x?Rn)，证明下

2J(x);(2)求下列方程组的解：列两个问题

等价：(1)求x0?Rn使

J(x0)?minnx?RAx?b解:设x0?Rn

是J(x)的最小值点,对于任意的x?Rn,

令?(?)?J(x0??x)?J(x0)??(Ax0?b,x)??

22(Ax,x),(3分)因此??0是?(?)

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~1~

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的极小值点,?’(0)?0,即对于任意的

x?Rn,(Ax0?b,x)?0,特别取x?Ax0?b,则有

(Ax0?b,Ax0?b)?||Ax0?b||2?0,得到Ax0?b.

(3分)反之,若x0?Rn满

足Ax0?b,则对于任意的

1x,J(x0?x)??(1)??(0)?(Ax,x)?J(x0),因此

x0是J(x)的最小值点.(4分)2评

分标准:?(?)的表示式3分,每问3分,推

理逻辑性1分

ddu??Lu??(p)?qu?fx?(a,b)二、对于两点

边值问题：?dxdx??u(a)?0,u(b)?0其中

p?C1([a,b]),p(x)?minp(x)?pmin?0,q?C([a,

b]),q?0,f?H0([a,b])x?[a,b]建立与上

述两点边值问题等价的变分问题的两种

形式：求泛函极小的Ritz形式和

Galerkin形式的变分方程。1解:设

H0?{u|u?H1(a,b),u(a)?u(b)?0}为求解函数

空间,检验函数空间.取1v?H0(a,b),乘方