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事件的相互独立性

高中数学

1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.

2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．

导语

我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生．因此，积事件AB发生的概率一

定与事件A，B发生的概率有关．那么，这种关系会是怎样的呢？

一、相互独立事件的概念

问题1分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反

面朝上”．计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？

提示用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1,1)，

(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点．而A＝{(1,1)，(1,0)}，B＝{(1,0)，(0,0)}，

所以AB＝{(1,0)}．由古典概型概率公式，得

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P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝.

于是P(AB)＝P(A)P(B)．

知识梳理

如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立．

例1判断下列事件是否为相互独立事件．

(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加

演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．

(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”

与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．

解(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一

事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．

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(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩

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下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一

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事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者

不是相互独立事件．

反思感悟两个事件是否相互独立的判断

(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．

(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件．

跟踪训练1分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第

二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．(填

序号)

①A，B；②A，C；③B，C.

答案①②③

解析根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)

＝P(B)P(C)成立即可．

利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)

＝0.25，P(BC)＝0.25.

可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．

所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C

相互独立．

二、相互独立事件的性质

问题2互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系．如果事件A与事件B相互独立，

BA

那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证A与，与B，

AB

与是否独立，你有什么发现？

BBB